功率谱估计课件.pptx

功率譜估計;4.1引言;(4.1.2);將（4.1.4）式代入(4.1.1)式,得到;上式中x(n)是觀測數據，Pxx(ejω)是隨機變數，必須對Pxx(ejω)取統計平均值，得到;現代譜估計以信號模型為基礎，圖4.1.1表示的是x(n)的信號模型，輸入白雜訊w(n)均值為0，方差為σ2w，x(n)的功率譜由下式計算：;圖4.1.1平穩隨機序列的信號模型;4.2隨機序列數字特徵的估計;(4.2.1);1.偏移性

令估計量的統計平均值與真值之間的差值為偏移B，其公式為;2.估計量的方差

如果兩個估計量的觀察次數相同，又都是無偏估計，哪一個估計量在真值附近的擺動更小一些，即估計量的方差更小一些，就說這一個估計量的估計更有效。

如果和都是x的兩個無偏估計值，對任意N，它們的方差滿足下式：;3.一致性——均方誤差

在許多情況下，比較兩個有偏估計值是較麻煩的。偏移較小的估計值，可能有較大的方差，而方差較小的估計值可能有較大的偏移，此時使用與估計值有關的均方誤差會更方便。估计量的均方误差用下式表示：;(4.2.6);4.2.2均值的估計

假設已取得樣本數據：xi(i=0,1,2,…,N-1)，均值的估計量用下式計算：;2.估計量的方差與均方誤差;以上式表明，估計量的方差隨觀察次數N增加而減少，當Ν→∞時，估計量的方差趨於0。這種情況下估計量的均方誤差為;當序列的n與i相差m時，E［(xn-mx)(xi-mx)］=cov(m),而N點數據中相距m點的樣本有N-m對，因此;(4.2.11);4.2.3方差的估計

已知N點樣本數據xi(i=0,1,2,…,N-1)，假設數據之間不存在相關性，且信號的均值mx已知，方差用下式估計：;式中的均值估計值用（4.2.7）式計算。下麵分析它的偏移性，按照上式，有;將(4.2.9)式和(4.2.16)式代入(4.2.15)式，得到;將上式兩邊取統計平均值，並將（4.2.17）式代入，得到;4.2.4隨機序列自相關函數的估計;下麵分析這種自相關函數的估計品質，首先分析偏移性：;為了分析簡單，假設x(n)是實的、均值為0的高斯隨機信號，求和號內的部分可以寫成下式：;式中，令 r=k-n;(4.2.26);2.有偏自相關函數的估計

有偏自相關函數用表示，計算公式如下：;對???（4.2.22）式和(4.2.28)式，無偏自相關函數與有偏自相關函數的關係式為;在（4.2.30）式中, 的統計平均值等於其真值乘以三角窗函數wB(m)（或稱巴特利特窗函數）;按照（4.2.29）式,估計量的方差為;4.3經典譜估計;對上式進行傅裏葉變換，得到BT法的功率估計值為;有時稱(4.3.3)式為加權協方差譜估計。它要求加窗後的功率譜仍是非負的，這樣窗函數w(m)的選擇必須滿足一個原則，即它的傅裏葉變換必須是非負的，例如巴特利特窗就滿足這一條件。

為了採用FFT計算(4.3.3)式，設FFT的變換域為(0~L-1)，必須將求和域(-M+1,M-1)移到(0~L-1)，功率譜的計算公式如下：;(4.3.7);4.3.2週期圖法

將功率譜的另一定義（4.1.6）式重寫如下:;圖4.3.1用週期圖法計算功率譜框圖;1.週期圖與BT法的等價關係

週期圖法的功率譜估計公式用（4.3.8）式表示，下麵由該公式出發推導它們的等價關係。;上式中的方括號部分正是有偏自相關函數的計算公式，因此得到;2.週期圖法譜估計品質分析

1)週期圖的偏移

已知自相關函數的估計值，m=-(N-1),-N，-N+1,…,0,1,2,…,N-1，按照（4.3.2）式求功率譜的統計平均值，得到;（4.3.9）;(4.3.12);2)週期圖的方差

由於週期圖的方差的精確表示式很繁冗，為分析簡單起見，通常假設x(n)是實的零均值的正態白雜訊信號，方差是σx2，即功率譜是常數σx2，其週期圖用IN(ω)表示，N表示觀測數據的長度。按照週期圖的定義，週期圖表示為;式中;利用正態白雜訊、多元正態隨機變數的多階矩公式，有;將上式代入週期圖的均方值公式中，得到;顯然，當N趨於無限大時，週期圖的方差並不趨於0，而趨於功率譜真值方差的平方，即;為了進一步說明數