2025年中考数学三轮高频考点二次函数中的特殊三角形与特殊四边形的存在性问题冲刺练习.docx
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2025年中考数学三轮高频考点二次函数中的特殊三角形与特殊四边形的存在性问题冲刺练习
一、二次函数与特殊三角形问题
1．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，求的面积；
(3)如图1，在轴下方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；
(4)如图2，对称轴垂直于轴于点，点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．直线分别与抛物线的对称轴交于两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
2．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点．
4．如图1，抛物线与直线交于点和点，点为该抛物线的顶点，已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线与直线的函数表达式；
(2)若抛物线与轴交于点，直线与轴交于点．
（i）以为直角边，点为直角顶点，在直线的右侧作等腰直角，请在图2上画出符合条件的图形，并判断点是否在抛物线上；
（ii）如图3，连接，在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线另一交点为点，为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．
7．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点A、B，点在点的左侧，与轴相交于点，已知，的面积为6．
(1)______；
(2)点在轴上，轴，交二次函数的图像于点．
①当时，求证：；
②当且时，求证：；
③将二次函数的图像平移，记平移后的图像为图像，其顶点为坐标原点，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，过点作直线的垂线，交图像于点，若，，则______．
二、二次函数与特殊四边形问题
8．如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点．
(1)填空：______，______；
(2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点；
(3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________；
(3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值；
(4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________．
10．如图，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线与y轴交于点M，连接，交y轴于点N，求线段的长；
(3)如图2，连接，两线段交于点E．在线段上取点F，使．连接，求的最小值．
11．如图，抛物线与x轴的两个交点为，，与y轴交于点C