8.2 一元线性回归模型及其应用（五大题型）（原卷版）.docx
8.2一元线性回归模型及其应用
【题型归纳目录】
题型一：求回归直线方程
题型二：利用回归直线方程对总体进行估计
题型三：线性回归分析
题型四：残差分析与相关指数的应用
题型五：非线性回归分析
【知识点梳理】
1、一元线性回归模型
我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差．
2、线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征
我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate），
其中
3、残差的概念
对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
4、刻画回归效果的方式
（1）残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
（2）残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
（3）利用刻画回归效果
决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差．
【典型例题】
题型一：求回归直线方程
例1．（2023·四川成都·高二校考期末）某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示，据此估计2022年该城市人口总数______(单位十万).（参考数据和公式：，）
年份（年）
0
1
2
3
4
人口数（十万）
5
7
8
11
19
例2．（2023·高三课时练习）某实验室对小白鼠体内x、y两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：
x
120
110
125
130
115
y
92
83
90
96
89
已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为．若下一次实验中，利用该回归直线方程预测得，则的值为______．
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为______________．
变式1．（2023·高三课时练习）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得表数据，
6
8
10
12
2
3
5
6
请根据表提供的数据，求出关于的线性回归方程：__.
变式2．（2023·广西北海·高二统考期末）某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则看不清的数据★的值为__________．
x
2
3
4
5
6
y
19
25
★
40
44
题型二：利用回归直线方程对总体进行估计
【方法技巧与总结】
求线性回归方程的一般步骤
（1）收集样本数据，设为（数据一般由题目给出）．
（2）作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
（3）把数据制成表格．
（4）计算．
（5）代入公式计算，公式为
（6）写出线性回归方程．
例4．（2023·四川雅安·高二统考期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x（千万元）
3
5
6
7
9
利润额y（千万元）
2
3
3
4
5
(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（参考公式，）
(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?
例5．（2023·陕西西安·统考一模）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差x/分
20
15
13
3
2
物理偏差y/分
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均