高等数学多元函数的基本概念.pptx
推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用
第八章第一节一、平面点集、n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念
平面点集的定义:坐标平面上具有某种性质的点的集合。坐标平面:二维坐标系的平面常称为坐标平面。可表示为:01021、平面点集一、平面点集n维空间
问题:什么是邻域?回忆2.邻域
01点集02称为点P0的?邻域.03例如,在平面上,04(圆邻域)05在空间中,06(球邻域)07说明:若不需要强调邻域半径?,也可写成08点P0的去心邻域记为推广一下:
在讨论实际问题中也常使用方邻域,邻域可以互相包含.。平面上的方邻域为因为方邻域与圆
3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:?若存在点P的某邻域U(P)?E,?若存在点P的某邻域U(P)∩E=?,?若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点;则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.
(2)聚点若对任意给定的?,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.所有聚点所成的点集成为E的导集.(1)内点一定是聚点;说明:(2)边界点可能是聚点;例如,(0,0)既是边界点也是聚点.
点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.01例如,02而03(0,0)是聚点但不属于集合.边界上的点都是聚点也都属于集合.04
孤立点:若A∈E,且存在δ0,使得则称点A为集E的孤立点E的内部是什么?边界?聚点?孤立点?思考
(3)开区域及闭区域D?若点集E的点都是内点,则称E为开集;?若点集E??E,则称E为闭集;?若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,?开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;?连通的开集称为开区域,简称区域;。。?E的边界点的全体称为E的边界,记作?E;
例如,在平面上开区域闭区域????
?整个平面?点集是开集,是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.o?对区域D,若存在正数K,使一切点P?D与某定点A的距离?AP??K,则称D为有界域,界域.否则称为无
4.n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广:n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间,记为回忆
的全体称为n维空间,01n维空间中的每一个元素02称为空间中的03称为该点的第k个坐标.04记作05即06一个点,07当所有坐标08称该元素为09中的零元,10记作11O.12n元有序数组
规定为的距离记作与零元O的距离为中点a的?邻域为
二、多元函数的概念?三角形面积的海伦公式?圆柱体的体积引例:?定量理想气体的压强
01.二元函数02.点集D---定义域,03.--值域.04.x、y---自变量,z---因变量.05.与一元函数相类似,对于定义域约定:06.定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.
定义.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作2.多元函数
例求的定义域.解所求定义域为
3.二元函数的图形(如下页图)设函数),(yxfz=的定义域为D,对于任意取定的DyxP?),(,对应的函数值为),(yxfz=.以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM,当),(yx取遍D上一切点时,得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx?=,这个点集称为二元函数的图形.
二元函数的图形通常是一张曲面.
DCBA例如,图形如右图.例如,左图球面.E单值分支:
三、多元函数的极限定义.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作:P0是D