湖南省永州市第一中学2025届高三下学期2月份月考数学试题（含答案解析）.docx
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湖南省永州市第一中学2025届高三下学期2月份月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（????）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．设、、.下列命题中，假命题的个数为（????）
①；
②若，则；
③
④若，则；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
3．某校为调查高一年级某次考试的数学成绩情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生成绩的平均数为85，方差为5，且甲班与乙班的学生人数之比为2：3，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为（????）
A．87，10 B．85，10 C．87，10.2 D．85，10.2
4．已知，设展开式的各项系数和为，，则与的大小关系是（????）
A． B．
C．n为奇数时，，n为偶数时， D．
5．从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
6．某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为；经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是
A．， B．，
C． D．
7．已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（????）
A． B．2 C．3 D．
8．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（???）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10．如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O?，球O?切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O?，球O?的半径分别为4和1，球心距，则（???）
A．椭圆C的中心在直线O?O?上 B．
C．椭圆C上存在不同的四个点M，使得 D．椭圆C的离心率为
11．为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（???）
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C．第二次投篮的人是甲的概率为
D．设第次投篮的人是甲的概率为，则
三、填空题
12．已知随机变量，若，则.
13．已知中，点D在边上，，，，当取得最小值时，.
14．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大.
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，，侧面底面，，为线段上一点，且满足.
（1）若为的中点，求证：；
（2）当最小时，求二面角的余弦值.
16．已知函数，其中.
（1）若，求函数的定义域和极值；
（2）当时，试确定函数的零点个数，并证明.
17．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男?女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110