湖南省永州市新田德恒高级中学2025届高三下学期3月份月考数学试题.docx
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湖南省永州市新田德恒高级中学2025届高三下学期3月份月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（????）
A． B． C． D．
3．若，则（????）
A．40 B．41 C． D．
4．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是（???）
A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
5．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
6．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（???）
A．1 B． C． D．
7．在中，，，D是AC中点，，若，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．的最小值为2
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于直线对称
10．对实数，，满足，则（???）
A． B． C． D．
11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（????）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，，则．
13．已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为．
14．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为．
四、解答题
15．设数列的前n项和为.已知.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.
16．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
??
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
17．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
18．一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）．得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)依据小概率的独立性检验，分析患病是否与当地居民卫生习惯有关联．
(2)从该地的人群中人选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
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《湖南省永州市新田德恒高级中学2025届高三下学期3月份月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
A
C
A
B
BD
CD
题号
11
答案
AC
1．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2．B
【分析】求出复数，得到虚部
【详解】因为，所以z的虚部为．
故选：B．
3．B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
4．C