函数矩阵与矩阵微分方程.ppt

定义：设是个定义在区间上的有阶导数的函数向量，记那么称矩阵北京理工大学高数教研室*第31页，共46页，星期日，2025年，2月5日北京理工大学高数教研室*第32页，共46页，星期日，2025年，2月5日是的Wronski矩阵。其中分别是的一阶，二阶，…，阶导数矩阵。定理：设是的Wronski矩阵。如果在区间上的某个点，常数矩阵的秩等于，则向量在上线性无关。北京理工大学高数教研室*第33页，共46页，星期日，2025年，2月5日第一章第一节函数关于函数矩阵与矩阵微分方程北京理工大学高数教研室*第1页，共46页，星期日，2025年，2月5日称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。例：已知北京理工大学高数教研室*第2页，共46页，星期日，2025年，2月5日计算定义：设为一个阶函数矩阵，如果存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间是可逆的。北京理工大学高数教研室*第3页，共46页，星期日，2025年，2月5日称是的逆矩阵，一般记为例：已知那么在区间上是可逆的，其逆为北京理工大学高数教研室*第4页，共46页，星期日，2025年，2月5日函数矩阵可逆的充分必要条件定理:阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零，并且其中为矩阵的伴随矩阵。定义：区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。北京理工大学高数教研室*第5页，共46页，星期日，2025年，2月5日特别地，设为区间上的阶矩阵函数，如果的秩为，则称一个满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。例：已知北京理工大学高数教研室*第6页，共46页，星期日，2025年，2月5日那么。于是在任何区间上的秩都是2。即是满秩的。但是在上是否可逆，完全依赖于的取值。当区间包含有原点时，在上有零点，从而是不可逆的。函数矩阵对纯量的导数和积分定义：如果的所有各元素在处有极限，即北京理工大学高数教研室*第7页，共46页，星期日，2025年，2月5日其中为固定常数。则称在处有极限，且记为其中北京理工大学高数教研室*第8页，共46页，星期日，2025年，2月5日如果的各元素在处连续，即则称在处连续，且记为其中北京理