北方工业大学附中2025三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入.doc
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北方工业大学附中2025三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为虚数单位，复平面内表示复数的点在()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
2．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为()
A．-4-3i B．-4+3i C．4-3i D．4+3i
【答案】D
3．i为虚数单位，复平面内表示复数的点在()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
4．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于()
A．－ B． C． D．2
【答案】D
5．当时，复数在复平面内对应的点位于()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
6．复数的实部为V
A．i B．-I C．1 D．-1
【答案】C
7．已知i为虚数单位,则复数ii等于()
A． B． C． D．
【答案】C
8．复数与复数相等，则实数的值为()
A．1 B．1或 C． D．0或
【答案】C
9．复数对应的点在虚轴上，则()
A．，或 B．，且
C．，或 D．
【答案】C
10．设复数满足，则()
A． B． C． D．
【答案】A
11．复数在复平面内对应的点位于()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
12．已知i为虚数单位，复数，则|z|+＝()
A． B．1 C．1 D．
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知复数满足则复数对应点的轨迹是；
【答案】1个圆
14．若（R，i为虚数单位），则ab=
【答案】
15．关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的第____________象限．
【答案】二
16．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是．
【答案】圆
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知，（其中）是实系数一元二次方程的两个根.
(1）求，，，的值；
(2）计算：.
【答案】（1），；，.
(2）.
18．已知复数z=1－sinθ+icosθ(eq\f(π,2)θπ)，求z的共轭复数的辐角主值．
【答案】z=1+cos(eq\f(π,2)+θ)+isin(eq\f(π,2)+θ)=2cos2eq\f(\f(π,2)+θ,2)+2isineq\f(\f(π,2)+θ,2)coseq\f(\f(π,2)+θ,2)
=2coseq\f(\f(π,2)+θ,2)(coseq\f(\f(π,2)+θ,2)+isineq\f(\f(π,2)+θ,2))．
当eq\f(π,2)θπ时，=－2coseq\f(\f(π,2)+θ,2)(－coseq\f(\f(π,2)+θ,2)+isineq\f(\f(π,2)+θ,2))
=－2cos(eq\f(π,4)+eq\f(θ,2))(cos(eq\f(3π,4)－eq\f(θ,2))+isin(eq\f(3π,4)－eq\f(θ,2)))．
∴辐角主值为eq\f(3π,4)－eq\f(θ,2)．
19．已知，其中，且为纯虚数．
(1）求的对应点的轨迹；
(2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）设，
则，
为纯虚数，
即
的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去两点；
(2）由的轨迹可知，，
，圆心对应，半径为3，
的最大值为：，
的最小值为：．
20．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【答案】法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i.
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，于是|z|＝eq\r(?2－|z|?2＋82)，即|