备考2025高考数学一轮知识清单 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（解析版）.docx

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专题04函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：奇偶性基础 1

题型二：单调性基础 5

题型三：周期性基础 7

题型四：中心与轴对称应用：左右平移 9

题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 11

题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 14

题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 17

题型八：中心与轴对称应用：中心对称 19

题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 22

题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 24

题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 26

题型十二：函数型不等式：“优函数”型 30

题型十三：类周期型函数 32

题型十四：“放大镜”函数类周期性质 36

题型一：奇偶性基础

判定函数的奇偶性的常见方法：

判定函数的奇偶性的常见方法：

（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；

（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；

（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）：

1.加减型：

奇+奇→奇

偶+偶→偶

奇-奇→奇

偶-偶→偶

奇+偶→非

奇-偶→非

2.乘除型（乘除经验结论一致）

奇X奇→偶

偶X偶→偶

奇X偶→奇

奇X偶X奇→=偶

简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变

3.上下平移型：

奇+c→非

偶+c→偶

4.复合函数：

若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f[g(x)]为奇函数

若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f[g(x)]为偶函数

1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.

【详解】若，则，

则是偶函数，故A错误；

若，则,则是偶函数，故B错误；

若，则，则是奇函数，故C正确；

若，则，

则是偶函数，故D错误.

故选：C

2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.

【详解】由题意可得，解得，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.故选：B.

3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.

【详解】由题可得，

因为是奇函数，是偶函数，

所以，

联立解得，

又因为对任意的，都有成立，

所以，所以成立，

构造，

所以由上述过程可得在单调递增，

(i)若，则对称轴，解得；

(ii)若，在单调递增，满足题意；

(iii)若，则对称轴恒成立；

综上，，故选：B.

4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数，是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把

转化为，求解的最小值可得.

【详解】因为是的奇函数，所以，所以；

因为，所以可得，

此时，易知为增函数.

因为

所以，即，

因为，所以.故选A.

5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（????）

A．0 B． C．12 D．10

【答案】D

【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.

【详解】因为函数为奇函数，

所以，即，即或，

显然函数的定义域为关于原点对称，

且当时，有，从而有，

当时，有，但，

所以，即，

所以.

故选：D.

6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；

对B，设，函数定义域为，

且，则为偶函数，故B