2025年湖南省洞口县高三第四次模拟考试数学试题试卷含解析.doc
2025年湖南省洞口县高三第四次模拟考试数学试题试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（）
A． B． C． D．
3．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（）
A． B． C． D．
5．设为非零向量，则“”是“与共线”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知命题若，则，则下列说法正确的是（）
A．命题是真命题
B．命题的逆命题是真命题
C．命题的否命题是“若，则”
D．命题的逆否命题是“若，则”
7．若的展开式中的系数为150，则（）
A．20 B．15 C．10 D．25
8．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为()
A． B．
C． D．
9．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．为虚数单位,则的虚部为（）
A． B． C． D．
11．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（）
A． B． C． D．
12．已知直线，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，满足约束条件，则的最大值为________．
14．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
不喜欢
喜欢
男性青年观众
40
10
女性青年观众
30
80
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.
15．已知函数为偶函数，则_____.
16．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.
18．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
劳动节当日客流量
频数（年）
2
4
4
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
劳动节当日客流量
型游船最多使用量
1
2
3
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
19．（12分）已知，且的解集为.
（1）求实