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连续函数在有界闭区域的性质特征与应用研究

摘要

实数系内的闭区间呈现出很强的致性特征，与此相关的连续函数具备

最知性以及一致连续性等良好特征。而半开区间以及开区间则往往表现出非

致性的特点，与此相关的函数往往难以判断有无具备一致连续性等特征。

本文由各个区间内连续函数呈现出来的性质等表现情况，对其对应探究的局

部性质、闭区间性质以及一般区间性质相关内容。而且，本研究对闭区间层

面连续函数性质情况及其应用表现进行探究，并且进一步将其拓展到一般区

间的范畴；此外，探究了导函数以及复合函数证明能否成立以及极限存在与

否的问题，为更好地实现连续函数性质推广工作提供理论参考。

关键词：连续函数；闭区间；有界性；极限

目录

第1章绪论2

1.1国内外研究现状2

1.2研究内容及意义4

第2章有界闭区域中连续函数的性质讨论5

2.1连续函数的有界性5

2.2介值性与根的存在性8

第3章连续函数的性质10

3.1有界性定理10

3.2最大值与最小值定理11

1

3.3零点定理12

结论14

参考文献15

第1章绪论

1.1国内外研究现状

众所周知，研究数学最基本的工具就是函数，函数作为研究数学的工具，将代数

几何完美的结合起来，而连续函数最为函数中一个特殊的存在对它的研究也是必不可少

的，在数学分析中对连续函数定义已经很明确了，对连续函数性质的研究也比较透彻，

而且对连续函数性质的研究范围给出了严格的要求，大部分定理是在闭区间上得到的，

所以研究闭区间上连续函数的性质是很重要的（许诗茵，何泽宇，2022）。对于闭区间

上连续函数的几个重要性质的证明，不同的书本上所采用的方法也大致相同，连续函数

各个性质的应用也有不少，比如利用函数连续性来证明零点存在定理和介值定理，以此

来推导根的存在性并求最大最小值（卢俊豪，汪泽楷，2023）。A8S利用函数可去间断

点来进行连续函数性质的推广，将闭区间上的连续函数性质推导到开区间上，并且对连

续函数进行定义时使用了无限的思想，实现了有限和无限的对立同一。

例如文献［1］给出了连续函数的定义利用连续函数和数列之间的关系给出了几个连

续函数性质的推导和应用，其中给出了零点定理的一种证明方法，之后通过零点定理得

出了介值定理的证明方法，并利用反证法证明了康托定理；文献［2］［3］［4］证明并讨论了在

函数连续时介值定理的应用，作者通过构造初等函数，由于初等函数都是连续函数，所

以可以利用有关连续函数的定理来解决问题（汪明辉，陈丽娟，2021）;文献［5］系统的

将数学分析中的各个定义和各个定理阐述出来并加以举例证明，能让学生比较清晰明了

的了解数学分析，加深学生对数学分析的认识（金俊豪，洪泽楷，2018）;基于前文之

论断文献［6］中也有对连续函数和实变函数联系的描写，利用彼此间的联系去研究实变函

2

数使得人们对实变函数的认识更为深刻（傅正浩，罗曼玲，2019）;文献［7］详细的给出

了数学分析部分习题的计算过程证明方法（雷振华，傅宇轩，2019）;文献［8］［9］向我

们罗列出了数学分析的基本定理和相关应用举例；文献［10］不仅对连续函数的各种定义进

行了分析，而且以此拓展到有特点的数学思维，以上分析作为基础让学生认识到数学思

想中的辩证统一，并且在理论和应用两方面进行了拓展（朱文博，魏晓茜,2020）;文献［11］

通过把可去间断点通过运算变为间断点，然后把开区间当做闭区间，在利用闭区间上连

续函数的最值性来求该函数的最值，再把此应用推广到无限区间中，作者将该应用的三

种情形进行了分别讨论，给出了详细的推导过程（邓芝和，张弘扬,2020）;在数据洞察阶段,

先前研究的教训引导本文深化对新型分析手段技术的采纳。随着信息技术的蓬勃发展,

大数据分析、智能算法等前沿工具正日益成为科研探索的关键支撑。这些工具不仅提高

了数据处理能力，