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两类发展型偏微分方程定解问题的适定性

摘要

论文针对“两类方程”(非线性抛物方程和非线性波动方程)的初边值问题展开研究,

包括具-Laplacian和组合广义源的抛物方程,具变系数和变指数()-Laplacian的抛

物方程,具耦合非线性变指数项的抛物方程组,具双色散项的波动方程.论文重点解决

两类模型方程初(边)值问题中的特征项为定解问题适定性研究带来的困难,通过分别重

新构建上述问题相应的变分结构,在三种不同初始能级(低或次临界初始能级、临界初

始能级与超临界初始能级)状态下讨论定解问题的适定性与初值的关系,揭示组合广义

源,变系数,变指标,耦合非线性项,拟微分算子和强弱阻尼等特征项和参数对解的动力

学行为如整体解的衰减速率和爆破解的爆破时间上下界的影响机制,以期建立系统化

研究类似问题解的适定性和动力学行为与初值关系的新范式,并推动后续对相关问题

的深入研究.

论文针对一类具组合广义源的-Laplacian抛物方程,通过分析非线性-Laplacian

扩散项和非线性组合形式的广义源项的结构特征,挖掘这两个非线性项之间的交互机

制,克服在经典线性扩散抛物模型建立的变分结构不再适用的困难,在次临界和临界初

始能级,利用卡辽金方法并提出特殊的辅助函数和分析技巧,分别获得解的整体存在性

和有限时间爆破.在超临界初始能级,通过寻找新的初值条件解决能量不受控时解的有

限时间爆破问题.

论文针对一类变系数变指数()-Laplacian抛物方程的初边值问题,克服了非线

性变系数变指数扩散项和变指数源项的逐点非线性对解的一致性估计带来的困难,在

加权变指数Sobolev空间中提出相应的新的变指数位势井(变分)理论,解决常指数的位

势井理论在此失效的难题.在三种不同初始能级下探索解的适定性与初值的关系,并进

一步揭示变系数和变指标等关键参数对解的动力学行为如整体解的衰减速率和爆破解

的爆破时间上下界的影响机制.

论文针对一类具耦合非线性源项的变指数()-Laplacian抛物方程组初边值问题

解的适定性问题,不仅解决单个变指数抛物方程的逐点非线性的困难,同时也克服非线

性耦合形式的源项这一复杂结构使这种难度更加深化的不利现状,提出一种新的耦合

形式的变分结构解决已建立的单个变指数变分结构不适用的问题.在这种新的结构框

架下,讨论变指数()-Laplacian扩散项以及具变指标()的耦合源项这两个非线性

项对解适定性关于初值依赖关系的影响机制,分析方程中的重要指标对解的动力学行

为的作用.

哈尔滨工程大学博士学位论文

论文针对一类具双色散项的非线性波动方程的初值问题,通过分析方程中所含的

两个拟微分算子的结构特征,取其傅里叶变换并选择它们合适的符号,建立问题对应的

拟微分算子形式的变分结构.基于此变分结构,在次临界和临界初始能级下应用伽辽

金方法构造近似解,从而获得解的整体存在性;应用凹函数方法且根据拟微分算子的结

构引入恰当的辅助函数,获得解的有限时间爆破.在超临界初始能级,克服初始能量不

受位势井深控制的困难,基于拟微分算子结构找到使解爆破的新的初值,获得解的有限

时间爆破的结论.最后考虑受阻尼影响下的以上问题的特殊情况,即一类具阻尼的非线

性Klein-Gordon方程的初值问题.在超临界初始能级,运用反耗散技术以及凹函数方法

得到解的有限时间爆破.

关键词:抛物方程;波动方程;适定性;初边值问题;位势井结构

两类发展型偏微分方程定解问题的适定性

Abstract

Thethesisisdevotedtothestudyofinitialboundaryvalueproblemof“twotypesofe-

quations”(nonlinearparabolicequationsandnonlinearwaveequations)onEuclideanspace,

includingparabolicequationsw