8.1常微分方程定解问题、数值解得概念_8.2初值问题的Euler方法、局部截断误差.ppt

华长生制作 常微分方程数值解的基本思想 误差分析 改进欧拉(Euler)方法 * 第八章 常微分方程数值解 8.1 引言(基本求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： -----------(1) -----------(2) -----------(3) (1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 -----------(4) 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件 定理1. 对于问题(1),要求它的数值解 -----------(1) 从(1)的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 求解微分方程的数值方法 数值积分 数值微分 而数值积分问题我们已经学习过, 下考虑数值微分方法 微积分中，关于导数的定义如下： 自然而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商! 向前差商 由Taylor展开 因此，有误差 向后差商 误差: 中心差商 以上三种方法推导出同一个数值求解公式: 这个数值公式称为欧拉(Euler)公式 8.2 欧拉(Euler)方法 这种误差称为局部截断误差. 显示Euler公式 隐式梯形公式 比较下面两个公式： * * * * *