离散数学-4.3关系的性质.pptx
14.3关系的性质关系性质的定义和判别自反性与反自反性对称性与反对称性传递性4.3.2关系的闭包闭包定义闭包计算Warshall算法
自反性与反自反性2定义4.14设R为A上的关系,?
(1)若?x(x∈A→x,x?R),则称R在A上是自反的.
(2)若?x(x∈A→x,x?R),则称R在A上是反自反的.
自反:A上的全域关系EA,恒等关系IA,小于等于关系LA,整除关系DA反自反:实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系.R2自反,R3反自反,R1既不自反也不反自反.例1A={a,b,c},R1,R2,R3是A上的关系,其中
R1={a,a,b,b}
R2={a,a,b,b,c,c,a,b}
R3={a,c}
对称性与反对称性3例2设A={a,b,c},R1,R2,R3和R4都是A上的关系,其中
R1={a,a,b,b},R2={a,a,a,b,b,a}
R3={a,b,a,c},R4={a,b,b,a,a,c}定义4.15设R为A上的关系,?
(1)若?x?y(x,y∈A∧x,y∈R→y,x∈R),则称R为A上对称的关系.
(2)若?x?y(x,y∈A∧x,y∈R∧y,x∈R→x=y),则称R为A上的反对称关系.
实例对称:A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系?反对称:恒等关系IA,空关系是A上的反对称关系R1对称、反对称.R2对称,不反对称.R3反对称,不对称.R4不对称、也不反对称
传递性4例3设A={a,b,c},R1,R2,R3是A上的关系,其中
R1={a,a,b,b}
R2={a,b,b,c}
R3={a,c}定义4.16设R为A上的关系,若
?x?y?z(x,y,z∈A∧x,y∈R∧y,z∈R→x,z∈R),
则称R是A上的传递关系.
实例:A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系?,小于等于关系,小于关系,整除关系,包含关系,真包含关系R1和R3是A上的传递关系,R2不是A上的传递关系.
设R为A上的关系,则关系性质的充要条件5R在A上自反当且仅当IA?R1R在A上反自反当且仅当R∩IA=?2R在A上对称当且仅当R=R?13R在A上反对称当且仅当R∩R?1?IA4R在A上传递当且仅当R°R?R5
自反性证明6证明模式证明R在A上自反任取x,x?A?………………..….…….?x,x?R前提推理过程结论例4证明若IA?R,则R在A上自反.证任取x,
x?A?x,x?IA?x,x?R
因此R在A上是自反的.
对称性证明7证明模式证明R在A上对称任取x,yx,y?R?……………..….…….?y,x?R前提推理过程结论例5证明若R=R?1,则R在A上对称.证任取x,y
x,y?R?y,x?R?1?y,x?R
因此R在A上是对称的.
反对称性证明8证明模式证明R在A上反对称任取x,yx,y?R?y,x?R?………..……….?x=y前提推理过程结论例6证明若R∩R?1?IA,则R在A上反对称.证任取x,y
x,y?R?y,x?R?x,y?R?x,y?R?1?x,y?R∩R?1?x,y?IA?x=y
因此R在A上是反对称的.
证明模式证明R在A上传递传递性证明9任取x,y,y,zx,y?R?y,z?R?…..……….?x,z?R前提推理过程结论例7证明若R°R?R,则