离散数学关系的性质.pptx

1 离散数学关系的性质 2 二、对称性 定义3-6.2 设R是A上的二元关系,如果对于每个x,y∈X，每当有xRy,就有yRx则称二元关系R是对称的。 R在X上对称R在X上对称(x)(y)(xX∧yX∧xRy →yRx) 例如：平面上三角形集合中的相似关系是对称的。 R是X上的对称关系，可知，R的关系矩阵MR是对称阵。在R的关系图中，如果两个不同的结点间有边，一定有方向相反的两条边。 例如,A={1,2,3},R4={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉} MR= 第1页/共21页 3 三、传递性 P111 定义3-6.3 设R是A上的二元关系,如果对于任意x,y,z∈X，每当有xRy,yRz就有xRz则称二元关系R是传递的。 R在X上对称 (x)(y)(z)(xX∧yX∧zX∧xRy∧yRz → xRz) 例如：实数集上的,,=都是传递的，人集合上的祖先关系 例如 A={1,2,3,4},R5={〈4,1〉,〈4,3〉,〈4,2〉,〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉}是传递的.其关系图和关系矩阵如下图。 第2页/共21页 4 练习 例：如A={a，b，c}，R={a,a，b,b，a,b，b,a}是A上的一个二元关系，问关系R具有哪些性质？为什么？ 答：R是对称且传递的，但R不是自反的，因为对于cA，没有c,c R。 第3页/共21页 5 练习 有人说：集合A上的关系R，如果是对称且传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb，由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对吗？为什么？ 答：不对！因为不是每一个a， aRa成立。 第4页/共21页 6 自反性是说对于每一个xX，有x，xR。 对称性是说每当x，yR，就有y，xR，没有要求对于每一个xX。 传递性是说每当x，yR，y，zR时就有x，zR ，也没有要求对于每一个xX。 因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是自反的。 第5页/共21页 7 四、反自反性 P111 定义3-6.4 设R是A上的二元关系,如果对于每个x∈X，有x,xR,则称二元关系R是反自反的。R在X上反自反(x)(xX→x,x R) 数的大于关系，日常生活中的父子关系都是反自反的。 设R是X上的反自反关系，可知，R的关系矩阵MR的主对角线全为0；在R的关系图中每一个结点上都没有自回路。 例如 设X=1,2,3，X上的二元关系R=1,2,2,3,3,1，R是反自反的,它的关系图，关系矩阵如下： MR= 第6页/共21页 8 四、反自反性 例题3,R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈2,3〉,〈3,3〉}既不是自反的,又不是反自反的。其关系图和关系矩阵如下图所示。 注意： 一个不是自反的关系不一定就是反自反 一个关系可能既不是自反的，也不是反自反的 第7页/共21页 9 五、反对称性 定义3-6.5 设R是A上的二元关系,如果对于每个x,y∈X，每当有xRy和yRx必有x=y，则称二元关系R是反对称的。 R在X上反对称(x)(y)(xX∧yX∧xRy∧yRx R→x＝y) 设R是X上的反对称关系，可知，在R的关系矩阵MR中以主对角线为轴的对称位置上不能同时为1(主对角线除外)。在R的关系图中每两个不同的结点间不能有方向相反的两条边。可以存在自回路 主对角线上可以为1。所以存在既是对称的又是反对称的关系。 P112 例 例如 设X=1,2,3，X上的二元关系R=1,2,2,3,3,3，R是反对称的。它的关系图，关系矩阵如下： MR= 第8页/共21页 10 思考练习 A={1,2,3}上的如下几个关系: R={1,1,1,2,1,3,3,3} S={1,1,1,2,2,1,2,2,3,3} T={1,1,1,2,2,2,2,3} φ=空关系 A×A=全域关系 满足自反性、对称性、传递性、反对称性、反自反性的关系各有哪些？ 第9页/共21页 11 思考练习 A={1,2,3}上的如下几个关系: R={1,1,1,2,1,3,3,3} S={1,1,1,2,2,1,2,2,3,3} T={1,1,1,2,2,2,2,3} φ=空关系 A×A=全域关系 判断它们各有哪些性质. 解:自反性:S,A×A 对称性:S,φ,A×A 传递性:R,S,φ,A×A 反对称性:R,T,φ 反自反性:φ. 第10页/共21页 12 思考练习 A={1,2,3}上关系的例子,使它有下述性质 [1]既是对称又是反对称的; [2]既不对称又不是反对称的; [3]有传递性. 解: [1]R={1,1,2,2,3,3} [2]R={1,2,2,1,2,3} [3]R={1,2,2,3,1,3} *注意