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单纯形法两阶段法

单纯形法两阶段法

一、引言

单纯形法（SimplexMethod）是一种求解线性规划问题的算法，广泛应用于经济学、管理学、运筹学等领域。两阶段法是单纯形法的一个变种，主要适用于处理线性规划问题中的退化情况。本文将详细介绍单纯形法两阶段法的原理、步骤以及应用。

二、单纯形法基本原理

单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到具有最优解的顶点，最终找到线性规划问题的最优解。基本原理如下：

1.初始基本可行解：选择线性规划问题中约束方程的某一组可行解作为初始基本可行解。

2.迭代过程：在每一步迭代中，根据目标函数的系数和约束条件，选择一个顶点，使得目标函数在该顶点处的值尽可能增大（或减小）。

3.退出条件：当不存在任何顶点使得目标函数在移动后有所改进时，算法终止，此时的顶点即为最优解。

三、两阶段法原理

在单纯形法中，有些线性规划问题可能存在退化情况，即初始基本可行解不是基本可行解。这时，单纯形法无法正常进行迭代。为了解决这个问题，引入了两阶段法。

1.第一阶段：将退化问题转化为标准形式，构造一个等价的非退化线性规划问题。

2.第二阶段：在第一阶段的基础上，使用单纯形法求解非退化线性规划问题。

四、两阶段法步骤

1.第一阶段：

（1）将原问题转化为标准形式。

（2）根据约束条件，引入松弛变量、过剩变量或人工变量，将问题转化为等式约束。

（3）计算初始基本可行解，判断是否存在退化情况。

（4）若存在退化情况，则选择退化变量和人工变量，构造新的基本可行解。

2.第二阶段：

（1）删除第一阶段引入的人工变量。

（2）使用单纯形法求解非退化线性规划问题。

五、两阶段法应用

两阶段法在实际应用中具有重要意义，以下列举几个例子：

1.求解具有人工变量的线性规划问题。

2.求解具有退化约束的线性规划问题。

3.求解具有多重可行解的线性规划问题。

六、结论

单纯形法两阶段法是一种有效的求解线性规划问题的算法，在处理退化情况方面具有显著优势。通过了解两阶段法的原理和步骤，可以为实际问题的求解提供有力支持。在实际应用中，可根据问题的具体情况选择合适的算法，以实现最优解的求解。