矩阵理论 课件 第1章第4节矩阵的特征值与特征向量.ppt

OfficePLUSOfficePLUSOfficePLUSOfficePLUSOfficePLUSOfficePLUS矩阵的特征值与特征向量1.4定义1.9设若和非零向量使得(1.5)成立,则称为的特征值,为的属于(或对应)特征值的特征向量.将式(1.5)改写为这是含有个未知数的个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是系数行列式即这是以为未知数的一元次方程,其最高次项的系数为1(称为首一的).定义1.10设称为的特征矩阵,为的特征多项式,为的特征方程.注的特征值就是特征方程的根.由代数学的知识知,特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此阶方阵在复数范围内有个特征值.计算阶方阵的特征值与特征向量可按如下步骤进行：第一步：求特征方程的个根,即为的全部特征值;第二步：求解齐次方程组,其非零解即为的属于特征值的特征向量.例1.7求下列矩阵的特征值与特征向量：(1)(2)解(1)的特征多项式为因此的特征值为当时,解方程组.由得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(为不等于零的任意常数).当时,解方程组.由得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(为不等于零的任意常数).(2)的特征多项式为所以的特征值为当时,解方程组.由得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(为不等于零的任意常数).当时,解方程组.由得基础解系因此属于特征值的全部特征向量为(不同时为零).定义1.11设(互不相同,且),称为的代数重数,对应的线性无关的特征向量个数为的几何重数.例如,例1.7中的第一个矩阵,特征值1的代数重数是2,几何重数是1；第二个矩阵,特征是2的代数重数是2,几何重数是2.定理1.7设是的特征值,则其代数重数与几何重数满足证设属于特征值