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用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器

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用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器

摘要：本文主要研究使用双线性变换法设计原型低通巴特沃斯型IIR数字高通滤波器。首先，介绍了巴特沃斯滤波器的原理和特性，然后详细阐述了双线性变换法的原理及其在数字滤波器设计中的应用。接着，通过实例分析了如何利用双线性变换法设计原型低通巴特沃斯型IIR数字高通滤波器，并对滤波器的性能进行了仿真和实验验证。最后，对设计过程中可能遇到的问题和解决方案进行了总结，为后续研究提供了参考。

随着电子技术的飞速发展，数字信号处理技术在各个领域得到了广泛应用。滤波器作为信号处理的基本工具，在通信、音频、图像处理等领域具有重要作用。巴特沃斯滤波器因其良好的通带特性而被广泛应用于各种信号处理系统中。然而，在实际应用中，往往需要将巴特沃斯滤波器转换为高通滤波器。本文旨在研究使用双线性变换法设计原型低通巴特沃斯型IIR数字高通滤波器，以期为相关领域的研究提供参考。

一、1.巴特沃斯滤波器原理及特性

1.1巴特沃斯滤波器的基本原理

巴特沃斯滤波器是一种经典的模拟滤波器，以其通带内平滑的幅度响应和易于实现的特性而广受欢迎。其基本原理基于一个多级有源滤波器的设计，每个级联的滤波器单元通过多个电阻和电容构成。这种滤波器的名称来源于其发明者——英国电气工程师和物理学家CharlesBlackwood巴特沃斯。

巴特沃斯滤波器的幅度响应遵循一个简单的递归关系，即其幅度响应可以表示为多个二阶滤波器的串联，每个二阶滤波器的幅度响应为\(\frac{1}{1+(s/w_n)^2}\)，其中\(s\)是复频率，\(w_n\)是截止频率。这种递归结构使得巴特沃斯滤波器具有以下特点：(1)在通带内，滤波器的幅度响应接近于常数，这通常意味着较小的通带波动；(2)在阻带内，滤波器的幅度响应以20ndB/decade的速率下降，其中\(n\)是滤波器的阶数；(3)通带和阻带的转折点（即滚降速率）之间的过渡带较窄。

以一个三阶巴特沃斯低通滤波器为例，其幅度响应在通带内几乎为常数，阻带内则以60dB/decade的速率下降。具体来说，如果设定截止频率为1000Hz，则其通带波动大约为0.1dB，而阻带衰减超过60dB。在实际应用中，这种滤波器可以用于去除信号中的低频噪声，同时保持信号的完整性。

在实际设计中，巴特沃斯滤波器可以通过模拟电路或数字电路实现。在模拟电路中，巴特沃斯滤波器通常使用运算放大器和电阻、电容等无源元件构建。例如，一个三阶巴特沃斯低通滤波器可以通过三个二阶滤波器级联来实现，每个二阶滤波器包含一个运算放大器、一个电阻和一个电容。在数字实现中，双线性变换法（也称为Tustin变换）常用于将模拟滤波器的系数转换为数字滤波器的系数。这种方法确保了在数字域中模拟滤波器的频率响应得以保留。

1.2巴特沃斯滤波器的特性

巴特沃斯滤波器以其独特的特性在信号处理领域占据重要地位。以下是其特性的详细描述：

(1)巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内非常平坦，这意味着滤波器在通带内的幅度变化非常小，通常小于0.1dB。这种平坦的幅度响应使得巴特沃斯滤波器在保持信号原有特性的同时，有效地抑制了通带内的噪声和干扰。例如，在音频信号处理中，巴特沃斯滤波器可以用来去除不需要的低频噪声，而不会对音乐或语音的音质产生显著影响。

(2)巴特沃斯滤波器的阻带衰减速率随着滤波器阶数的增加而增加，但增加的速率逐渐减慢。对于n阶巴特沃斯滤波器，其阻带衰减速率是20ndB/decade。这意味着随着阶数的增加，滤波器在阻带内的衰减效果会显著提高，但阶数的增加也会导致滤波器的过渡带变宽。例如，一个三阶巴特沃斯滤波器在阻带内大约有60dB的衰减，而一个六阶滤波器则可以达到120dB的衰减。

(3)巴特沃斯滤波器的相位响应在通带内接近线性，而在阻带内则呈现明显的相位延迟。这种相位响应的特性使得巴特沃斯滤波器在保持信号波形的同时，也引入了相位的偏移。在数字信号处理中，相位偏移可能会导致信号的失真，因此在设计滤波器时需要权衡幅度响应和相位响应之间的平衡。例如，在通信系统中，巴特沃斯滤波器可以用来抑制干扰信号，但同时需要考虑相位偏移对信号传输的影响。

此外，巴特沃斯滤波器还具有以下特性：

-巴特沃斯滤波器的群延迟在通带内是恒定的，这意味着信号的不同频率成分在通过滤波器时不会产生时间上的延迟差异。这在某些应用中是一个重要的考虑因素，例如在音频处理中，恒定的群延迟有助于保持声音的清晰度