专题01 有理数及其运算（解析版）.pdf

专题01有理数及其运算

思维导图

核心考点聚焦

1.正负数，相反意义的量.

2.求一个数的相反数，绝对值，倒数.

3.科学记数法表示大于1的数.

4.有理数的混合运算.

5.用数轴上的点表示有理数.

6.有理数运算的实际应用.

7.根据点在数轴上的位置判断式子的正负.

8.借着数轴化简绝对值.

9.绝对值非负性的应用.

10.分类讨论化简绝对值.

11.数轴上的动点问题中的追及问题.

12.数轴上的动点问题中的最值问题.

一、有理数

1．正数和负数的概念

大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不

是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．

2．具有相反意义的量

一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与

它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．

3．有理数的概念

正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．

4．有理数的分类

①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．

二、数轴

1．数轴的概念与画法

数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方

向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取

一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….

2．数轴上的点与有理数之间的关系

①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；

②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；

表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.

三、相反数

1．相反数的概念及表示方法

相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可

以是零．特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是零.

2．相反数的性质

若a与b互为相反数，那么a+b0.

3．多重符号的化简

与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．

4．相反数的几何意义

从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

四、绝对值

1．绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.

|a|

2．绝对值的性质

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

3．绝对值的非负性

根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若|a||b|0，则|a|0

且|b|0．

五、有理数的加法

1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法．

2.法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值．互为相反数的两个数相加得0；

（3）一个数同0相加，仍得这个数．

要点：利用法则进行加法运算的步骤：

(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．

(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．

(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．

3.运算律：

加法文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变

有理交换a+b＝b+a

符号语言

数加律

法运加法三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，