2025年专题勾股定理培优版综合.doc
专題勾股定理在動态几何中的应用
一.勾股定理与對称变换
（一）動點证明題
1.如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若P為边BC上的中點，连結AP，求证：BP×CP=AB2-AP2；
（2）若P是BC边上任意一點，上面的結论還成立吗？若成立請证明，若不成立請阐明理由；
A
A
B
P
C
（3）若P是BC边延長线上一點，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？請证明你的結论.
（二）最值問題
2.如图，E為正方形ABCD的边AB上一點，AE=3，BE=1，P為AC上的動點，则PB+PE的最小值是
3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M為對角线BD（不含B點）上任意一點，将BM绕點B逆時针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）求证：△AMB≌△ENB；
E
E
AD
BCC
N
M
（2）①當M點在何处時，AM＋CM的值最小；
EADBCC
E
AD
BCC
N
M
（3）當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的边長.
E
E
AD
BCC
N
M
4.問題：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長．小明同學的解題思绪是：运用轴對称，把△ADC進行翻折，再通過推理、计算使問題得到处理．
（1）請你回答：图中BD的長為；
（2）参照小明的思绪，探究并解答問題：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一點，若∠BAD=
∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長．
图①图②
二.勾股定理与旋转
5.阅讀下面材料：
小伟碰到這样一种問題：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一种可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。
小伟是這样思索的：运用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的措施是以點B為旋转中心将△ABP逆時针旋转60°得到△A’BC,连接,當點A落在上時,此題可解（如图2）．
請你回答：AP的最大值是．
参照小伟同學思索問題的措施，处理下列問題：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P為△ABC内部一點，则AP+BP+CP的最小值是.（成果可以不化简）
6.如图，P是等边三角形ABC内一點，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.
变式1：?ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，點P是?ABC内一點，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数
C
C
B
A
P
变式2：問題：如图1，P為正方形ABCD内一點，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．
小娜同學的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相對集中，于是他将△BCP绕點B顺時针旋转90°得到△BAE（如图2），然後连結PE，問題得以处理．
請你回答：图2中∠APB的度数為．
請你参照小娜同學的思绪，处理下列問題：
如图3，P是等边三角形ABC内一點，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的長度為三边長的一种三角形（保留画图痕迹）；
（2）求出以PA、PB、PC的長度為三边長的三角形的各内角的度数分别等于．
图1图2图3
7.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一种圆心角為，半径的長等于CA的扇形CEF绕點C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于點M，N．
（1）當扇形CEF绕點C在∠ACE的内部旋转時，如图①，求证：；
C
C
A
B
E
F
M
N
图①
（2）當扇形CEF绕點C旋转至图②的位置時，关系式与否仍然成立？若成立，請证明；若不成立，請阐明理由．
C
C
A
B
E
F
M
N
图②
变式1：如图，在中,
且,,则=