数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章.pdf

第一章 实数集与函数 导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 ) 一、数学分析 (mathematical analysis) 简介 : 1. 背景 : 从切线、面积、计算 sin 32 、实数定义等问题引入 . 2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算： 3. 数学分析的基本内容： 数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数 . 主要研 究微分 (differential) 和积分 (integration) 两种特殊的极限运算 , 利用这两种运算从微观和 宏观两个方面研究函数 , 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数 . 数学分析基本上是连 续函数的微积分理论 . 微积运算是高等数学的基本运算 . 数学分析与微积分 (calculus) 的区别 . 二、 数学分析的形成过程： 1. 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想 . 纪元前三世纪 , Archimedes 就有 了积分思想 . 2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期 , 是微积分思想的发展、成果的积累时期 . 3. 十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期 . 4. 十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点 : 逻辑性很强 , 很细致 , 很深刻 ; 先难后易 , 是说开头四章有一定的难度 , 倘能努力学懂 前四章 ( 或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些 ; 只要在课堂上专心听讲 , 一般是 可以听得懂的 , 但即便能听懂 , 习题还是难以顺利完成 . 这是因为数学分析技巧性很强 , 只了解基本的理论和方法 , 不辅以相应的技巧 , 是很难顺利应用理论和方法的 . 论证训练是 数学分析课基本的 , 也是重要的内容之一 , 也是最难的内容之一 . 一般懂得了证明后 , 能把 证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事 . 因此 , 理解 证明的思维方式 , 学习基本的证明方法 , 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式 , 是数学分 析教学贯穿始终的一项任务 . 有鉴于此 , 建议的学习方法是 : 预习 , 课堂上认真听讲 , 必须记笔记 , 但要注意以听 为主 , 力争在课堂上能听懂七、八成 . 课后不要急于完成作业 , 先认真整理笔记 , 补充课 堂讲授中太简或跳过的推导 , 阅读教科书 , 学习证明或推导的叙述和书写 . 基本掌握了课堂 教学内容后 , 再去做作业 . 在学习中 , 要养成多想问题的习惯 . 四、课堂讲授方法 : 1. 关于教材及参考书 : 这是大学与中学教学不同的地方 , 本课程主要从以下教科书中取材 : [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社， 2001； [2] 刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社， 1992； [3] 谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社， 2003； [4] 马振民，