数学分析教案(华东师大版)多元函数微分学.doc

第十七章 多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．?????? 可微性与全微分： 1．????? 可微性： 由一元函数引入. 亦可写为 , 时 . 2．????? 全微分: 例1 考查函数 在点 处的可微性 . P107例1 二.??????????????? 偏导数: 1.????????? 偏导数的定义、记法: 2.????????? 偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.????????? 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5????????? . 求偏导数. 例6????????? . 求偏导数. 例7????????? . 求偏导数, 并求 . 例8????????? . 求 和 . 解 = , = . 例9????????? 证明函数 在点 连续 , 并求 和 . 证 . 在点 连续 . , 不存在 . 三.??????????????? 可微条件: 1.????????? 必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和 存在 , 且 . ( 证 ) 由于 , 微分记为 .? 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.? 例10??????? 考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 .? 2.????????? 充分条件: Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数在点 可微 . 证 . 即 在点 可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .? 例11??????? 验证函数 在点 可微 , 但 和 在点 处不连续 . (简证,留为作业) 证 因此 , 即 , 在点 可微 , . 但 时, 有 , 沿方向 不存在, 沿方向 极限 不存在 ; 又 时, ,因此, 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于 和 对称,也在点 处不连续 . 四.??????????????? 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于该邻域 , 则存在 和 , , 使得 . ( 证 ) 例12??????? 设在区域D内 . 证明在D内 . 五.??????????????? 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六.??????????????? 可微性的几何意义与应用： 1．????????? 可微性的几何意义： 切平面的定义. P113. Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件是函数 在点 可微 . ( 证略 ) 2. 切平面的求法: 设函数 在点 可微 ，则曲面 在点 处的切平面方程为 （ 其中 ） ， 法线方向数为 ， 法线方程为 . 例13??????? 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法 线方程 . P115例6? 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 .? 例14 求 的近似值. P115例7 例15 应用公式 计算某三角形面积 . 现测得 ,. 若测量 的误差为 的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. § 2 复合函数微分法 简介二元复合函数 : . 以下列三种情况介绍复合线路图 ; , ; . 一.?????? 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.? Th 设函数 在点 D可微 , 函数 在点 可微 , 则复合函数 在点 可微, 且