【四川】2023年全国高中数学联赛预赛试题+答案.docx

2023年全国高中数学联赛(四川预赛)试题

(考试时间：2023年5月21日14:30～16:30)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x,均有2f(x)+f(x2-1)=1,则f(√2)的值为

2.设平面向量a、b满足：|a|=1,|b|=2,a⊥b.点O、A、B为平面上的三点，满足：OA=2a+b,OB=-3a+2b,则△AOB的面积为

3.在(-xy+2x+3y-6)的展开式中，xy3的系数为.(用具体数字作答)

4.设P(0,a)是y轴上异于原点的任意一点，过点P且平行于x轴的直线与曲线

交于点Q,曲：在点Q处的切线交y轴于点R,则△PQR的面积的最小

值为

5.设集合I={0,1,2,…,22},A={(a,b,c,d)|a,b,c,d∈I,a+d=1(mod23),且ad-bc=0(mod23)},则集合A中元素的个数为

6.在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=1,BC=CC?=√3,∠ABC=90°,点P是平面ABC上一动点，则的最小值为

7.如图，将函数y=cosx+1(0≤x≤2π)的图象厂画在矩形

OABC内，将AB与OC重合围成一个圆柱，则曲线T在圆柱表面

形成的曲线的离心率为●

8.设A、B、C是△ABC的三个内角，则3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围为 ●

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)已知抛物线厂的顶点是原点O,焦点是F(0,1).过直线y=-2上任意一点A作抛物线厂的两条切线，切点分别为P、Q,求证：

(2)∠PFQ=2∠PAQ.

10.(本题满分20分)给定正整数n(n≥2).已知2n个正实数a?,a?,…,am,满足：

求的最小值，其中a2n+1=a.

11.(本题满分20分)给定正整数a,b(a≤b).数列{fn}满足：

fi=a,f?=b,fn+2=fn+1+fn(n=1,2,…).

若对任意的正整数n,都有,求实数λ的最小值.

2023年全国高中数学联赛(四川预赛)试题参考答案及评分标准

说明：

1、本试卷满分120,其中填空题64分，解答题56分.

2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.

3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

2、73、-21600

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9、(本题满分16分)已知抛物线T的顶点是原点O,焦点是F(0,1).过直线y=-2上

任意一点A作抛物线I的两条切线，切点分别为P、Q,求证：

(1)直线PQ过定点；(2)∠PFQ=2∠PAQ.

证明：(1)易得抛物线I的方程为x2=4y.设点A(t,-2),P(x,y?),Q(x?,y?),

则过点P的抛物线T的切线L的方程为：

即xx-2y-2y?=0.……4分

同理，过点Q的抛物线T的切线l?的方程为：x?x-2y-2y?=0.

由L、I过点A,可得x?t+4-2y?=0,x?t+4-2y?=0,

这表明，点P(x?,y?)、Q(x?,y?)的坐标满足方程：tx-2y+4=0,

∴直线PQ的方程为：tx-2y+4=0.

∴易得直线PQ过定点(0,2).……8分

(2)不妨设P在Q的左边，则x?x?.

参考答案及评分标准(第1页，共4页)

又因为

∴tan2∠PA