第九章曲线积分与曲面积分习题解答(详解).docx

曲线积分与曲面积分习题详解 习题 9-1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） I C yds ，其中 C 是抛物线 y x2 上点 O(0,0) 到 A(1,1)之间的一段弧； 解 : 由于 C 由方程 y x2 （ 0 x 1） 给出，因此 1 1 I C yds 0 x2 1 (x2 ) 2 dx 0 x 1 4x2 dx 1 (1 4 x2 )3 2 1 1(5 5 1). 12 0 12 （2） I C xds ，其中 C 是圆 x2 y2 1 中 A(0,1) 到 B( 1 , 1 ) 之间的一段劣弧； 2 2 解 : C ? AB 的参数方程为： y x cos , y sin ( ) ，于是 A 4 2 I 2 ( sin 2 2 d C cos ) cos o x 4 cos d 1 1 ． B 2 4 2 （ 3） ?C ( x y 1)ds ，其中 C 是顶点为 O(0,0), A(1,0) 及 B(0,1) 的三角形的边界 ； 解: L 是分段光滑的闭曲线，如图 9－ 2 所示，根据积分的可加性， y 则有 B(0,1) ?C (x y 1)ds oA(1,0) x (x y 1)ds (x y 1)ds (x y 1)ds ， OA AB BO 由于 OA : y 0 ， 0 x ，于是 1 ds ( dx) 2 ( dy ) 2 dx 12 02 dx dx ， dx dx 故 ( x y 1 3 ， 1)ds( x 0 1)dx OA 0 2 而 AB : y 1 x , 0 x 1，于是 ds ( dx) 2 ( dy )2 dx 12 ( 1)2 dx 2dx ． dx dx 故 ( x y 1)ds 1 [ x (1 x) 1] 2dx 2 2 ， AB 0 同理可知 BO : x 0 （ 0 y 1）， ds ( dx)2 ( dy )2 dy 02 12 dy dy ，则 dy dy ( x y 1)ds 1 y 1]dy 3 ． BO [0 0 2 综上所述 ?C ( x y 1)ds 3 2 2 3 3 2 2 ． 2 2 （ 4） ?C x2 y2 ds ，其中 C 为圆周 x2 y2 x ； 解 直接化为定积分． C1 的参数方程为 x 1 1 cos , y 1 sin （ 0 2 ） , 2 2 2 且 ds 2 2 1 ． [ x ( )] [ y ( )] d d 2 于是 ?C 2 2 2 1 ． x y ds 0 cos 2 2 d2  y C1 1 o x C （ 5） x2 yzds，其中 为折线段 ABCD ，这里 A , B , C , D 的坐标依次为 (0,0,0) , (0,0,2), (1,0,2), (1,2,3) ； 解 如图所示， z 2 2 2 2 yzds x x x yzds x yzds yzds． AB BC CD B(0,0,2) D(1,2,3) 线段 AB 的参数方程为 x 0, y 0, z 2t(0 t 1) ，则 C (1,0,2) ds ( dx)2 ( dy ) 2 ( dz) 2 A(0,0,0) y dt dt dt x 02 02 22 dt 2dt ， 故 x 2 yzds 1 0 0 2t 2dt 0 ． 0 AB 线段 BC 的参数方程为 x t, y 0, z 2(0 t 1) ，则 ds 12 02 02 dt dt , 故 BC x2 yzds 1 t2 0 2 dt 0 ， 0 线段 CD 的参数方程为 x 1, y 2t , z 2 t (0 t 1) ，则 ds 02 22 12 dt 5dt ， 故 2 1 2 (2 t) 5dt 2 5 1 2 )dt 8 5， CD x yzds 0 1 2t (2t t 3 0 所以 2 yzds 2 yzds x 2 yzds 2 yzds 8 5 ． x x CD x 3 AB BC （ 6） 2 为空间曲线 x2 y2 z2 a2 , ( a 0) . y ds ，其中 x z a, 解 : 在 x, y 平面的投影为： x2 y2 ( a x)2 a2 ，即 2 x2 y2 2ax 0 ，从而 a 2 1 2 x y2 a 2 . 2 2 利用椭圆的参数方程得 的参数方程为 x 1 a 1 a cos , 2 2 : y a , 0 2 . sin 2 z a x 1 1 a a cos , 2 2 由于 ds x 2 y 2 z 2 d 1 a2 sin 2 1 a 2 cos2 1 a2 sin 2 d a d . 4 2 4 2 则