第九章 振动习题与解答.doc

第九章 振动习题及解答 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量 为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力. 解： 刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向， 为与 铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对 的 转动定理； 因 很小故 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，轻弹簧的劲度系数为 和 ，支承面是理想光滑面，求系统振 动的固有频率 . 解： 以物体 m为隔离体,水平方向受 的弹性力 以平衡位置为原点建立坐标系 ，水平向右为x轴正方向。设m处于 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。m发生一小位移x之后，弹簧 的伸长量为x，弹簧 被压缩长也为x。 故物体受力为： （线性恢复力） m相当于受到刚度系数为 的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律： 9.2.3一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为 .若在振子和弹簧 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数 应是 的多少倍？ 解： 未串时：平衡位置 串联另一刚度系数为 的弹簧： 此时弹簧组的劲度系数为 已知： 解得： 9.2.4单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a(g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为 . 解： （ 1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力 ，摆线张力 ，惯性力 。 平衡位置处有： 由此可得平衡位置时摆线铅直夹角 (1) 由平衡位置发生小角位移 由牛顿第二定律 :在切线方向的分量式 即 角很小,故 .于是得: 利用 (1)式, 则 即 因为 所以 (2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态. (3) 同(2)的分析得: 9.2.5在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为 .设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g且包含 个原子. 现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数. 解 ： 由 9.2.2知 这里 9.2.6一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 ，物体质量为20g现将弹簧自平衡位置拉长 并给物体一远离平衡位置的速度，其大小 为7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI). 解： 以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为: 故 时， 时， → 弹簧振子的运动方程： 9.2.7 质量为 的物体悬挂在劲度系数为 的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在 时，物体距平衡位置的 位移为 ，速度为 ，求其运动学方程. 解： 以平衡位置为原点，建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向。 （ 1） （ 2）设运动方程为： 即 故 所以运动学方程为： 9.2.8 （ 1）一简谐振动的运动规律为 ，若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？ （2）一简谐振动的运动学方程为 .若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后 时旋转矢量的位置. 解： （ 1） （1） 计时起点提前 0.5，则 ，代入（1）式，运动方程为： 设计时起点提前 秒，可使初相为零，即 ，代入（1）式得： 有 即提前 秒时计时可使其初相为零。 （ 2） （2） 计时起点提前 秒时 代入 若计时起点推迟一秒，则 ，此时初相为 若要 ，需 即推迟 秒计时时，可使初相为零。 （ 3） 见图a,b ?? ?(a) (b) 9.2.9 画出某简谐振动的位移——时间曲线，其运动规律为 （SI制） 解： （ 制） 令 则有 为周期引的余弦曲线。 画出 曲线，再根据 的关系。将 轴右移 周期。 9.2.10 半径为 R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长度.（3）将圆环去掉 而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比. 解： （ 1）该装置为物理摆，利用9.2.1对一般刚体得到的公式 为薄圆球质量。 根据平行轴定理： （ 2）根据单摆公式 由 可得 （ 3）该装置为物理摆，仍利用公式 由对称性可知，质心位于 上。 为剩余圆弧的质量， 。 根据平衡轴定理。 故 即 可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周期均不变。 9.2.11 1m长的