高中数学-柯西不等式.pdf

类型一：利用柯西不等式求最值例1.求函数6=5石n+Ji°-2K的最大值解:

x-120且10-2x20,函数的定义域为xe[L5],且

J=5x7^1+V2X46+(@+(信$=6点

=127

即“一27时函数取最大值，最大值为6/法二：•.•x-lNO且10-2x20,.•.函数的定

义域为xe[L5]

2ax—1y/l0-2x2jx—1‘JlO—2x,得5J10-2x-2Jx-10

_____127=127

即10-2x2/^T0,解得27/,一27时函数取最大值，最大值为6石.

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

【变式1】设凡且。+/=10,求如+5的最大值及最小值。

利用柯西不等式得(a+bXS2+1)2(%+切2=10」02(3«+a1故最大值为I。,

最小值为-10

[变式2】xj’wR,3/+2./S6,求3x+p的最值.

法一：柯西不等式

(a+y)%[(每尸+(向力除、(场4*+2?)专+上]]

于是2x+_y的最大值为后，最小值为一而.

法二：柯西不等式

|2x+y悍J(国、(优心卷)+%=岛M而

于是2x+.y的最大值为而，最小值为一而.

【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数歹=52x+1+扬+4+gz+6的最大值.

根据柯西不等式

3x40=(14-1+1)[(2x+l)+(3^+4)+(5z+0]

(lxJ2x+1+lxyf3y+4+lxj5z+6尸

故J2不+1+J3y+4+J5z+6M2-J30

=32822

==

当且仅当2x+l=3y+4=5z+6,即615时等号成立，止匕时，==2病变

式4：设五=(1,0,-2),b=(x,y,z),假设x?+y?+z?=16,则方B的最大值为。

【解】v=(l,0,-2),B=(x,y,z)：,a,b=x-2z

2222

柯西不等式+o+(-2)](X+y+z)(x+0-2z)2n5x16(x-2z)2n-475x

4A/5^-445a.b445,故G.B的最大值为4店：

变式5：设x,y,zwR,假设x?+y2+z2=4,贝|x-2y+2z之最小值为时，(x,y,z)=