2025年九年级数学中考二轮复习专题相似三角形之一线三等角模型.docx

2025年九年级数学中考二轮复习专题相似三角形之一线三等角模型

1．在△ABC中，点D为BC上一点，点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CECD

（2）如图2，若AD＝AE，求证：CECD

（3）在（2）的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，sin∠BAD=55，直接写出线段

2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC边长的动点（不与B，C重合），点E是AC上的某点并且满足∠ADE＝∠C．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）若BD的长为x，请用含x的代数式表示AE的长；

（3）当（2）中的AE最短时，求△ADE的面积．

3．如图1，在矩形ABCD中，AB＝nBC，点E为射线BC上的一个动点，过点E作EF⊥AE，连接AF，使∠EAF＝∠BAC，连接CF．

（1）求证：△ABE∽△ACF；

（2）如图2，若n=34，AC＝5，连接

①若∠CDF＝45°，求BE；

②当E点在射线BC上运动时，则DF+53AE的最小值为

4．在△ABC中，D为BC上一点．

（1）点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B．

①如图1，若AB＝AC，求证：AB：BD＝CD：CE；

②如图2，若CA＝CB，CF∥AB交DE的延长线于点F，点H在BC的延长线上，且FC＝FH，求证：BD＝CH．

（2）如图3，若△ABD∽△FAC，且AB＝CD＝2BD，直接写出BFAD

5．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．

（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；

（2）如图2，求DEDF的值（含n

（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且EFBC=58，直接写出

6．在△ABC中，点P为边BC上一点，∠APD＝∠B，PD交边AC于点D．

（1）若△ABC为等边三角形．

①如图1，求证：BPAB

②如图2，点E在边AC上，BE交AP于点F，且∠AFE＝60°，AF＝6PF，求BPAB

（2）如图3，若∠APD＝45°，且∠PAD＝90°，AB＝22，CD=5，直接写出△APC的面积

7．矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC边上一点，EF⊥AE，且EF＝AE

（1）如图①，当F在CD边上时，求BE的长

（2）如图②，若DF⊥EF，求BEBC

（3）如图③，Q为AF的中点，直接写出CQ的最小值为

8．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：△ABF∽△FCE；

（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长；

（3）在（2）的条件下，连接BE，求sin∠AEB的值．

9．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°．求证：AC?BF＝AD?BD；

【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中．AB＝22，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE=5，则CD的长为

【拓展提高】（3）如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DM∥BC交AC于M，在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H；若∠FHC＝∠ABC，问：DF?BC是否为定值？若是请求出，若不是，请说明理由．

10．在矩形ABCD中，M为AB边上一点，把△ADM沿DM翻折，使点A恰好落在BC边上的点N处．

（1）求证：△MBN∽△NCD；

（2）若tan∠DMN＝3，求BNNC；

（3）若DM＝AB+BM，直接写出tan∠CDN+tan∠MDN的值．

11．如图1，矩形ABCD中，AB＝nAD，点E，F分别在边AB，AD上且不与A，B，D重合，∠AEF＝∠BCE．

（1）求证：△AEF∽△BCE；

（2）如图2，若G为EF中点，GH⊥CD，D是垂足，若EF＝EC，GH＝GE，求n的值；

（3）在（2）的条件下，在线段BC上找一点Q，使得△HGQ是等腰三角形，求CQ：CE．

12．△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，E是AC边上一点，∠ADE＝45°．

（1）如图1，若∠ACB＝45°，求证：△ABD∽△DCE；

（2）①如图2，若AD⊥AC，AE＝CE，求证：CD＝5BD；

②如图3，若AD⊥AC，CE＝3BD＝3，则CD的长度为．

13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上的点，且∠ADE＝∠B．

（1）如图1，若∠B＝∠C，求证：AB?CE＝BD?CD；

（2）若AB＝8，BC＝10，∠B＝