2025年中考数学总复习《全等三角形之一线三等角模型》专项测试卷（带答案）.docx
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2025年中考数学总复习《全等三角形之一线三等角模型》专项测试卷（带答案）
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
1．如图，点C在线段上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：．
2．如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
(1)如图1，当点在边上时，求的长．
(2)将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，．
①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形；
②当点在射线上时，若的面积为，求的长；
③当点在射线上时，是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
3．综合与实践：
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
（3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积．
（4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
4．（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；
??
（2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离；
（3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长．
5．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、．
(1)求的面积及点到直线的距离；
(2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标．
6．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
??
(1)当时，°，°；点D从B向C运动时，逐渐变（填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．
7．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：．
（1）如图1，若，，则________；
【模型应用】
（2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________；
【模型拓展】
（3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I．
①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明；
②若，，请求出的长．
8．如图1，等腰直角三角形中，，．过作于点，过作于点．可证得．我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“形图”．
【问题初探】如图2，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰，求点的坐标及直线的表达式；
【应用探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．
【拓展延伸】
随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4，设计师标记公园原址为长方形，并以点为原点建立平面直角坐标系，已知、的坐标分别是，．设计师准备在原花园的两边和上分别选取点和点，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形区域作为餐饮角，由于点处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点的位置，使得点到点的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点的位置，并求出的最小值．
9．如图，中，，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结．
(1)如图1，当点在线段上时
①求证：；
②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当为等腰三角形时，求的值．
10．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：
①