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二次型知识点归纳

知识点

描述

定义

含有n个变量x?,x?,...,x?的二次齐次函数，形如f(x?,x?,...,x?)=a??x?2+2a??x?x?+...+2a??x?x?+a??x?2+...+2a??x?x?+...+a??x?2

矩阵表示

二次型可以表示为f(x?,x?,...x?)=XAX，其中A是二次型的矩阵，是对称矩阵且唯一，X=(x?,x?,...,x?)

标准型

只含有平方项的二次型，形如f(x?,x?,...,x?)=d?·x?2+d?·x?2+...+d?·x?2

规范型

在标准型中，若平方项前的系数为1,-1,0，则称其为二次型的规范形

惯性指数

在标准型中，正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负平方项的个数称为负惯性指数，记为q

惯性定理

二次型经过可逆坐标变换后，正、负惯性指数保持不变，且p+q=r(f)=r(A)，其中r(f)表示二次型的秩，r(A)表示二次型矩阵的秩

合同矩阵

如果有可逆矩阵C，使得B=CAC，则称A与B合同

正交变换法

通过求特征值和特征向量，进行正交化、单位化，得到变换矩阵Q，使得x=Qy为正交变换，可将二次型化为标准型

配方法

通过配方消去交叉项，将二次型化为标准型

正定二次型

对于任意一组不全为0的实数c?,c?,...,c?，都有f(c?,c?,...,c?)0的二次型称为正定二次型

正定矩阵

若二次型f(x)=xAx为正定二次型，则称对称矩阵A为正定矩阵

正定二次型的判定

1.各阶顺序主子式大于0；2.特征值都大于0；3.与单位矩阵合同；4.存在可逆矩阵P，使得PAP=E（E为单位矩阵），且A的正惯性指数等于n