第44讲 数列求和（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

44第讲数列求和

一．公式法知识梳理

n(a+a)n(n+1)

(1)等差数列a的前n项和S=1n=na+d，推导方法：倒序相加

法．nnna，q=112n12

(2)等比数列a的前n项和S=，推导方法：乘公比，错位相减法．

nna(1-q)

1，q≠1

(3)一些常见的数列的前n项和：1-q

n1n

①k=1+2+3+⋯+n=n(n+1)；2k=2+4+6+⋯+2n=n(n+1)

2

k=1k=1

n2

②(2k-1)=1+3+5+⋯+(2n-1)=n；

k=1

n222221

③k=1+2+3+⋯+n=6n(n+1)(2n+1)；

k=1

n33333n(n+1)2

④k=1+2+3+⋯+n=



k=12

二．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成

的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从

而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积

构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列a与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个

n

常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

【解题方法总结】

常见的裂项技巧

积累裂项模型1：等差型

(1)1=1-1

n(n+1)nn+1

(2)1=11-1

n(n+k)knn+k

(3)12=11-1

4n-1122n-12n+1111

(4)=-



2

n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+1)(n+2)

(5)12=1=211-1

n(n-1)