第45讲：数列的综合应用（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

45第讲数列的综合应用

知识梳理

1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键

2、新定义问题的解题思路

遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，

“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．

3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公

式、求和方法等对式子化简变形．

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要

注意这一特殊性．

4、数列与不等式综合问题的求解策略

解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较

法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究

最值问题来解决．

利用等价转化思想将其转化为最值问题.

aF(n)恒成立⇔aF(n)；

max

aF(n)恒成立⇔aF(n).

min

5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑

用数列的知识去解决．

(1)数列实际应用中的常见模型

①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定

的数就是公差；

②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个

固定的数就是公比；

③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则

应考虑是第n项a与第n+1项a的递推关系还是前n项和S与前n+1项和S之间

的递推关系．nn+1nn+1

在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到

一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用

等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在

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解决问题时要往这些方面联系．

(2)解决数列实际应用题的3个关键点

①根据题意，正确确定数列模型；

②利用数列知识准确求解模型；

③问题作答，不要忽视问题的实际意义．

6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，

我们称这种方法为放缩法.

放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大(或

缩小)分式的分子(或分母).

放缩法证不等式的理论依据是：AB,BC⇒AC；AB,BC⇒AC.

找.放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查

必考题型全归纳

1题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用

2158(2024·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测)“角谷猜想”首先流传于美国，不久便

传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作

“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以

2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数a，按照上述规则实施第n次运算的

0

结果为an∈N，若a=1，且ai=1,2,3,4均不为1，则a=()

n5i0

A.5或16