第83讲 统计（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

83第讲统计

知识点一、抽样知识梳理

1、抽样调查

(1)总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．

(2)个体：构成总体的每一个元素叫做个体．

(3)样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样

本，样本中个体的数目叫做样本容量．

2、简单随机抽样

(1)定义

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果

每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

这样抽取的样本，叫做简单随机样本．

(2)两种常用的简单随机抽样方法

①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一

个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．

②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随

机数表法．随机数表由数字0，1，2，⋯，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都

是一样的．

注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．

(3)抽签法与随机数法的适用情况

抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当

总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．

(4)简单随机抽样的特征

①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体

进行分析．

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．

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③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．

④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的

公平．

只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

3、分层抽样

(1)定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定

数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．

(2)分层抽样问题类型及解题思路

①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行

计算．样本容量

③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=总体容量=

各层样本数量”

各层个体数量Ni

注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n=n⋅(i=1,2,⋯,k)

iN

个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，N是第i层中个体的个数，N是总体容量)．i

知识点二、用样本估计总体

1、频率分布直方图

(1)频率、频数、样本容量的计算方法

①频率×组距=频率．

组距

②频数=频率，频数=样本容量，样本容量×频率=频数．

样本容量频率

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1．

2、频率分布直方图中数字特征的计算

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为x，利用x左(右)侧矩形

面积之和等于0.5，即可求出x．

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小



长方形底边中点的横坐标之和，即有x=xp+xp+⋯+xp，其中x为每个小长方形底边

的中点，p为每个小长方形的面积．11