2024_2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课_双曲线的综合问题及应用课后巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx
PAGE
5-
其次章圆锥曲线与方程
习题课——双曲线的综合问题及应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.直线l:y=k(x-)与曲线x2-y2=1(x0)相交于A,B两点,则直线l倾斜角的取值范围是()
A.[0,π) B.∪
C.0,∪,π D.
解析由可得x2-k2(x-)2=1(x0),整理得(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0在(0,+∞)上有两个不同的根,故解得k-1或k1,故直线的倾斜角的范围为∪,故选B.
答案B
2.过双曲线x2-y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于()
A. B. C.1 D.
解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为,所以围成矩形的面积是.
答案A
3.设F1,F2是双曲线=1(a0)的左、右焦点,一条渐近线方程为y=x,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则△PF1F2的面积等于()
A.6 B.12 C.6 D.3
解析由双曲线方程知其渐近线方程为y=±x,又一条渐近线方程为y=x,∴a=2,
由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=|3|PF2|-|PF2||=2|PF2|=2a=4,解得|PF2|=2,∴|PF1|=6,又|F1F2|=2=2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.∵PF1⊥PF2,∴|PF1|·|PF2|=×6×2=6.故选A.
答案A
4.已知双曲线=1(a0,b0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()
A.+1 B.+1 C.2 D.
解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.故c=+1,故选B.
答案B
5.双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且-λ,则λ=()
A.- B.- C. D.
解析如图,设△PF1F2内切圆的半径为r.
由-λ,得·|PF2|·r=·|PF1|·r-λ··|F1F2|·r,整理得|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|.因为P为双曲线右支上一点,
所以|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=10,
所以λ=.故选D.
答案D
6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与左支交于A,B两点,若|AB|=5且实轴长为8,则△ABF2的周长为.?
解析依题意|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=16,即|AF2|+|BF2|-|AB|=16,于是|AF2|+|BF2|=21,故△ABF2的周长为21+5=26.
答案26
7.设双曲线E:=1(a0,b0)的离心率为2,则E的渐近线方程为.?
解析∵e==2,∴b2=3a2,
∴双曲线的方程为=1.
由=1,得y=±x,即x±y=0,
∴双曲线的渐近线方程为x±y=0.
答案x±y=0
8.直线y=x+1与双曲线=1相交于A,B两点,则|AB|=.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得
得x2-4x-8=0,则x1+x2=4,x1·x2=-8,
所以|AB|==4.
答案4
9.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+,|MC2|=r-(如图所示).
所以|MC1|-|MC2|=2.
又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.
因为2|C1C2|,所以依据双曲线的定义,知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.因为a=,c=4,所以b2=c2-a2=14.
故点M的轨迹方程为=1(x≥).
10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0),直线3x-2y=0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点(0,1),倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
解(1)设双曲线C的标准方程是=1(a0,b0),
由题可知,