《向量的数量积》同步学案(教师版) (1).docx

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《向量的数量积》同步学案

情境导入

如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,所做的功是多少?功是怎样的量?

自主学习

自学导引

1.已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ

2.如果a与b的夹角是π2,我们说a与b______,记作

3.向量的数量积.

(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量______叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a?b,即

(2)规定:零向量与任一向量的数量积为______.

4.如图(1),设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1

如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则

5.向量数量积的性质.

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与

(1)a?

(2)a⊥

(3)当a与b同向时,a?b=______;当a与b反向时,a?b=______.特别地

(4)|a

答案

1.夹角[0,

2.垂直a

3.(1)|a

4.投影 投影向量 O

5.(1)|

(2)0

(3)|a‖b| -|

(4)|

预习测评

1.若|m|=4,|n|=6,m

A.12 B.122 C.-122

2.已知|a|=9,|b|=62,

A.45° B.135° C.120°

3.|a|=2,|b|=4,设e是与b方向相同的单位向量,向量a与向量b的夹角为120

A.-3e B.-2e C.2e

答案

1.B

解析:m?

2.B

解析:因为cosθ=a?b|a‖

3.D

解析:向量a在向量b上的投影向量是a

新知探究

探究点1向量的数量积的概念

知识详解

1.两个非零向量的数量积.

已知条件

向量a,b是非零向量,

定义

数量|a‖b|cosθ叫做向量a与

记法

a

2.零向量与任一向量的数量积.

规定:零向量与任一向量的数量积均为0.

[特别提示]

1.向量的数量积,不能表示为或.

2.两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.

设两个非零向量a与b的夹角为θ,则

当θ=0°时,

当θ为锐角时,cosθ

当θ为针角时,cosθ

当θ为直角时,cosθ=

当θ=180°时,

典例探究

例1已知|a|=6,|b|=5,当:(1)a//b;(2)a⊥b;(3)a

解析根据向量数量积的定义求解.

答案(1)a//b,若a与b同向,则

若a与b反向,则θ=180

(2)a⊥b,则a与b的夹角为

(3)a与b的夹角为60°

方法技巧:对比向量的线性运算,向量线性运算的结果是一个向量,而两个向量的数量积是一个数量,而且这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关,它的符号由夹角的余弦值确定.当a≠0,b≠0,0°≤θ90°时,数量积为正;当a≠0

变式训练1判断下列各命题是否正确,并简要说明理由.

(1)a,b为非零向量,

(2)若a≠0,a

答案(1)因为a?b=|a‖b|cosθ,其中θ是a与b的夹角,所以由a?b=±|a|?|b|及

(2)若a≠0,a?b=a?c,由数量积公式,只能得到|b|cosα=|c|cosβ,其中α

探究点2关于投影向量的问题

知识详解

1.投影向量的概念.

如图,设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B

2.投影向量的求法.

(1)设e是与a方向相同的单位向量,a与b的夹角为θ,则向量b在向量a方向上的投影向量为|b

(2)设e是与b方向相同的单位向量,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为|a

典例探究

例2设e是与b方向相同的单位向量,已知|a|=3,|b|=5,且a与b的夹角为45

A.322e B.3e C.4e

解析向量a在向量b上的投影向量为|a

答案A

变式训练2已知|a|=2,|b|=10,a与b的夹角θ=120°,设e1是与a方向相同的单位向量,则向量b在向量a上的投影向量是______;

答案-5e

解析向量b在向量a上的投影向量为|b|cosθe1=10×

探究点3向量数量积的性质

知识详解

1.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与

(1)a?

(2)a⊥

(3)当a与b同向时,a?b=|a‖b|;当a与b反向时,

(4)|a

[特别提示]

1.在实数运算中,若a