《向量的线性运算》同步学案(教师版) (1).docx
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《向量的线性运算》同步学案
情境导入
质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过6s的位移对应的向量怎样表示?
自学导引
1.向量的数乘.
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个这种运算叫做向量的,记作,其长度与方向规定如下:
(1)|λ
(2)λa的方向
由(1)可知,当λ=0时,λ
由(1)(2)可知,(-
2.向量数乘的运算律.
(1)λ(
(2)(λ+μ
(3)λ(
特别地,有(-λ)a
λ(
答案
1.向量数乘λa(1)|λ||a|(2)λ0
2.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λ
预习测评
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是()
A.a与λa
B.a与-λa
C.a与λ2
D.|
2.已知m,n是实数,a,b
(1)m(
(2)(m-n
(3)若ma=mb,
(4)若ma=na,
A.(1)(4)
B.(1)(2)
C.(1)(3)
D.(3)(4)
3.在ΔABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13
A.1
B.2
C.1
D.5
4.如图,向量OA,OB,OC的终点在同一直线上,且AC=-3
A.r=-12p+32
5.(1)(-
(2)3(a
答案
1.C
解析:只有当λ0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|
2.B
解析:(1)和(2)正确;(3)中,若m=0,则不能推出a=b,错误;(4)中,若a=0,
3.A
解析:由题意可得AP=CP-CA
4.A
解析:∵AC
5.(1)8
(2)-
新知探究
探究点1向量的数乘的定义
知识详解
一般地,规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下
(1)|λ
(2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa
由(1)可知,当λ=0时,λ
由(1)(2)可知,(-1)a
[特别提示]
从两个角度看向量的数乘:
(1)代数角度：
λ是实数,a是向量,它们的积仍是向量;另外,λa=0的条件是λ=
(2)几何角度:
对于向量的长度而言,
①当|λ|1时,有|λa||a|,这意味着表示向量
②当0|λ|1时,有|λa||a
典例探究
例1已知λ,μ∈R,且a≠0
(1)λ0时,λa的方向与a
(2)λ0时,λa的方向与a
(3)λ=0时,λa与a
(4)λμ0时,λa的方向与μ
(5)λμ0时,λa的方向与μ
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定,易知(1)(2)都是正确的;对于(3),当λ=0时,λa=0,0与a是共线向量,故(3)正确;对于(4),由λμ0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa或者都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故(4)正确;对于(5),由λμ0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与
答案:D
归纳总结:λ的正负决定向量λa的方向,λ的大小决定λa
变式训练1设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是()
A.a的方向与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.|
答案:D
解析:对于A,∵a是非零向量,λ是非零实数,∴a的方向与-λa的方向相反或相同,A错误;对于B,当|λ|1时,|-λa||a|,B错误;
探究点2向量数乘的运算律
知识详解
1.设λ,μ为实数
(1)λ(
(2)(λ+μ
(3)λ(
特别地,(-λ
λ(
2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ
典例探究
例2计算:(1)(-
(2)2(a
(3)(x+y
解析:利用向量的数乘的运算律进行计算.注意在去括号时,如果括号前是负号,则括号内各项前面的符号都要变号.
答案:(1)原式=(
(2)原式=2
(3)原式=[(
方法技巧:向量的数乘与数乘数不同,前者结果是一个向量,后者结果是一个数,λ0时,λa与a同向;λ0时,λa与a反向;λ=0时,λa=0,故λa与
变式训练2化简:14
答案:1
=
=
=-
易错易混解读
例设向量a=3i+2j,b
错解:原式=
=
=-
=-
=-
=
=-13
错因分析:向量的线性运算类似多项式的运算,在去、添括号时尤其要注意括号内各项符号的变化.在第一步去原式的括号时,第二个括号前面是负号,因此在去括号时,括号内各项都要变号,但这里的“-23b”没有变号,这是错误一.在倒数第二步中,针对向量j的系数进行添括号时,括号前面是负号,因此括号内的各项都应该变号,但“-13
正解