（人教2019版）数学选修2 第5章 《一元函数的导数及其应用》大单元教学设计.docx
5．1导数的概念及其意义（单元教学设计）
一、【单元目标】
（1）通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
（2）体会极限思想．
（3）通过函数图象直观理解导数的几何意义．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
本节课面对的学生群体已经具备了一定的数学基础，对函数的概念、性质以及图像有了初步的了解．然而，导数作为一个新的数学概念，对学生来说可能相对抽象和难以理解．因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际出发，通过具体实例来感受导数的产生背景和实际意义．同时，要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生采取不同的教学策略，确保每位学生都能理解并掌握导数的概念及其在计算、解决实际问题中的应用，为后续的数学学习打下坚实的基础．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约4课时
教学重点：导数的概念及其几何意义，极限思想．
教学难点：极限思想，导数概念，导数符号．
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
情景1：同学们，大家平时在高速路上可能会经常看到“区间测速”的提示牌，这是为了提醒我们司机朋友要安全驾驶．区间测速其实是通过测量你在一段固定路程上所用的时间，来计算出你的平均速度．另外，大家可能也常听到家长们谈论汽车的油耗，比如“你的车几个油？”这里的“几个油”指的是汽车每行驶百公里所消耗的油量．而有些汽车还能显示瞬时油耗，即当前时刻的油耗情况．今天，我们就一起来深入探讨一下生活中的这种变化率问题，看看它是如何在我们身边无处不在地发挥着作用的．
环节二、抽象概念，内涵辨析
1．平均速度
问题1：在高台跳水中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系，
根据上述探究，你能求该运动员在内的平均速度吗?
【破解方法】当时，
当时，
当时，；
虽然运动员在这段时间里的平均速度是，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
【归纳新知】平均变化率问题
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
（2）平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：
知识点诠释：
①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为
②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小．
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度．
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即．
知识点诠释：
（1）是的一个“增量”，可用代替，同样．
（2）是一个整体符号，而不是与相乘．
（3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则．
2．瞬时速度
问题2：我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？
【破解方法】由可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量记为，即，自变量的增量记为，即，这里的可以看成是的一个增量，可用来表示，则平均变化率可记为，我们发现如果时间的增量无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让无限趋近于0．
【归纳新知】
（1）瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
（2）瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度．
（3）瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为，则物体在时刻的瞬时速度为
问题3：在点的附近任取一点，考察抛物线的割线P0P有什么变化趋势？
【破解方法】当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置．
【归纳新知】
切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点P0处的切线，这时，割线的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率．
3．导数的概念
问题4：瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
【破解方法】瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义