线性代数引言.ppt

引言 线性方程组：由一次方程构成的方程组称为 线性方程组。 方程组 线性方程组的一般表达式： 例如：a23代表第二个方程第三个未知量的系数 b4代表第四个方程的常数项 对线性方程组 在线性方程组（*）中，若bi=0 i=1、2…m 即 例如 线性方程组的解： 对线性方程组 例如 第一章 行列式 §1·1 排列与逆序 §1·2 n阶行列式的定义 §1·3 行列式的性质 §1·4 行列式按行（列）展开 §1·5 Cramer法则 §1·1 排列与逆序 由自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序 数组称为一个n级排列，简称为排列。 逆序： 【例1】求下列排列的逆序 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 序数 。 逆序数的计算方法: 【例2（补）】 求排列 当k=4n时， t = 2n(4n-1)为偶数 当k=4n+1时， t =2n(4n+1)为偶数 当k=4n+2时， t =(2n+1)(4n+1)为奇数 当k=4n+3时， t =(2n+1)(4n+3)为奇数 对换： 定理1·1 一次对换改变排列的奇偶性 【证】 先将ji依次与ji+1、 ji+2、… ji+m做相邻对换， 由于偶排列的个数共有q个，所以 同理，对三元线性方程组： 【例】设： 对三元线性方程组： 小结 概念： n级排列 ：由自然数1、2、…、n 组成的一个有序数组。 逆序 ：对n级排列j1 j2 … ji… jk… jn,， 若ji＞ jk，则称ji jk构成一个逆序，记为 ji jk 。 逆序数：一个排列中逆序的个数称为这个排列 的逆序数 。记为 n阶行列式 性质： 【定理1·1】一次对换改变排列的奇偶性。 (二）n阶行列式 定义1·4 由 【例1（补）】计算行列式 【例2 （补） 】计算行列式 【例3】计算行列式 【例4 （补） 】行列式 小结 概念： n级排列 ：由自然数1、2、…、n 组成的一个有序数组。 逆序 ：对n级排列j1 j2 … ji… jk… jn,， 若ji＞ jk，则称ji jk构成一个逆序，记为 ji jk 。 逆序数：一个排列中逆序的个数称为这个排列 的逆序数 。记为 n阶行列式 性质： 【定理1·1】一次对换改变排列的奇偶性。 二阶 行列式 ＋ － 则 例1 求方程组 解 因为 所以方程组有唯一解： 称 三阶行列式 = = ＋ ＋ ＋ － － － 问：（1）当a 为何值时，D≠0 （2）当a 为何值时，D=0 解 = 则：当a≠1且a≠–2时， D≠0 当a=1或a=–2时， D=0 若 则方程组有唯一解， 且唯一解为 对换:j1j2…ji…jk…jn （ ji， jk ） j1j2 …jk…ji…jn = 【定理1·2】在所有的n 级排列中（n1）, 奇排列与偶排列的个数相等，各为 个. 个数 （i, j=1、2、3…n)组成的符号 称为n阶行列式 位于行列式中第i行第j列的元素 例如 位于行列式中第3行第2列的元素 第一行 第二行 第n行 第一列 第二列 第n列 二阶行列式 其中 =两项的代数和，每一项是行列式中 不同行不同列的两个元素的乘积 三阶行列式 = =六项的代数和， 每一项是行列式中 不同行不同列的三个元素的乘积 =两项的代数和，每一项是行列式中 不同行不同列的两个元素的乘积 =六项的代数和， 每一项是行列式中 不同行不同列的三个元素的乘积 2！ 3！ = ∑ 求和号 n级排列（由1、2…n组成，共n!个） n级排列 的逆序数 行列式中n个不同行不同列 的元素的乘积 =n!项的代数和，每一项是行列式中 不同行不同列的n个元素的乘积 行列式的一般项： 一般我们称 为 n阶行列式 的展开式 解： 要使 必须 解： =0 D= 上三角行列式 要使 必须 即 解： 即 即 即 即 对换:j1j2…ji…jk…jn （ ji， jk ） j1j2 …jk…ji…jn * 例如 为非线性方程组 【实例】 设在一次投料生产中能获得四种产品， 通过四次测试，每次测试的总成本如下表所示， 试求每种产品的单位成本。 产品 产量（kg) 解：设A、B、C、D四种产品的单位成本分别为 x