理力(动力学)拉格朗日方程.ppt

求出各有关导数 A B m1g m2g ? vr ve x y x O 例 题 16-4 例题 第十六章 拉格朗日方程 求广义力。考虑到主动力只有重力，分别给出系统的虚位移 ?x 和 ?? ，则有 将以上结果代入拉格朗日方程 例 题 16-4 例题 第十六章 拉格朗日方程 A B m1g m2g ? vr ve x y x O 式(a)和(b)就是此系统的运动微分方程。 即得 A B m1g m2g ? vr ve x y x O 例 题 16-4 例题 第十六章 拉格朗日方程 一不可伸长的绳子跨过小滑轮 D ，绳的一端系于匀质圆轮 A 的轮心 C 处，另一端绕在匀质圆柱体 B 上。轮A 重 W1 ，半径是 R。圆柱 B 重 W2， 半径是r 。轮 A 沿倾角为 ? 的斜面作纯滚动，绳子倾斜段与斜面平行。滑轮 D 和绳子的质量不计，试求轮心 C 和圆柱 B 的中心 E 的加速度。 ? C W1 W2 R E D A B r y x ?A ?B 例 题 16-5 例题 第十六章 拉格朗日方程 例 题 16-5 例题 第十六章 拉格朗日方程 解: 系统具有两个自由度。我们选取 x1 = DC 和 y = yE 作为系统的广义坐标。于是系统的动能为 式中 ?A 和 ?B 分别是圆轮 A 和圆柱体 B 的角速度。根据运动学关系可知 将 ?A 和 ?B 代入动能表达式，并考虑到 ? C W1 W2 R E D A B r y x ?A ?B x1 yE 例 题 16-5 例题 第十六章 拉格朗日方程 则有 圆轮A 作纯滚动，摩擦力不做功。系统的主动力只有重力 W1 和 W2， 因此，系统的势能为 写出系统的拉格朗日函数 ? C W1 W2 R E D A B r y x ?A ?B x1 yE 例 题 16-5 例题 第十六章 拉格朗日方程 * * 第 十六 章 拉格朗日方程 分析力学篇 应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。 第 十六章 拉格朗日方程 设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 广义虚位移 第 十六章 拉格朗日方程 则该质点系有N 个自由度(N=3n-s) ，可由N个广义坐标q1， q2，... ， qN 确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示为 固定时间t，对ri 取变分，可得Mi的虚位移 —— 广义虚位移 虚功方程： 广义力 令 则 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 ——与广义坐标qk相对应的 广义力 ——广义坐标表示的虚功方程 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 由于广义坐标的独立性 （δqk可任意取值） 则必需 质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 势力场中 各有势力投影 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能在平衡位置处一阶变分为零 —— 势能函数 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 势力场中，以广义坐标表示势能函数 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。 保守系统平衡的稳定性 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 保守系统的平衡条件： 保守系统在平衡位置处势能取得极值 稳定平衡 保守系统平衡的稳定性 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 稳定平衡 保守系统平衡的稳定性 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 稳定平衡 保守系统平衡的稳定性 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 不稳定平衡 保守系统平衡的稳定性 §16-1 以广义坐标表示的质点系平衡条件 第 十六章 拉格朗日方程 不稳定平衡 保守系统平衡的稳定