极限的运算法则初步.PPT

函数与极限 第四节 极限运算法则 一、极限运算法则 二、求极限方法举例 三、小结 思考题 一、极限运算法则 二、求极限方法举例 三、小结 * * * 定理1 证 由无穷小运算法则,得 1. 四则运算法则 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 有界， 求复合函数的极限时, 常可用 “ 换元法” 简化运算. 2.复合运算法则 例 解: 直观地看. 当x?1时, lnx?0, 而当lnx?0时, cos(lnx)?cos0=1. 或者, 令u=lnx, 当x?1时, u?0, 代入 这种方法称为换元法. 使用时, 将原式中所有x换写成u的表达式. 极限过程x?x0换成相应的u的极限过程. 定理2. 设y =f [?(x)]由y =f (u), u=?(x)复合而成. 且在x0的某去心邻域? (x0)内, ?(x) ? u0 证 (略). 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5 解 解 (分子、分母有理化法) 例6 例7 解 先变形再求极限. 能够用极限的和的运算法则吗? 例8 解 例9 解 左右极限存在且相等, 例10 解 代入, x?0+ 解 这是一分段函数. 分段点x=0. 在分段点处极限要分左, 右极限讨论. 分段函数 =2 = b 故, 当b=2时, f (0+0) = f (0–0)= 2, 例11 何值时, 问常数b为 例12 解 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.复合运算法则; 3.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. * *