应用回归分析第3章课后习题参考答案.pdf

第3章多元线性回归

思考与练习参考答案

3.1见教材P64-65

3.2讨论样本容量n与自变量个数p的关系，它们对模型的参数估

计有何影响？

答：在多元线性回归模型中，样本容量n与自变量个数p的关系是：

np。如果n=p对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为：

1.在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量

的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计

2.解释变量X是确定性变量，要求，表明设计矩阵X中的自变量列

之间不相关，即矩阵X是一个满秩矩阵。若，则解释变量之间线

性相关，是奇异阵，则的估计不稳定

ε2

3.3证明2SSEnp1随机误差项的方差的无偏估计

证明:

R2

3.4一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数=0.9801，

我们能断定这个回归方程就很理想吗？

R2

答：不能。复相关系数R与样本决定系数都是用来表示回归方程

对原始数据拟合程度的好坏。样本决定系数取值在【0,1】区间内，

R2R2

一般来说，越接近1，即取值越大，说明回归拟合的效果越好

R2

但由于的大小与样本容量n和自变量个数p有关，当n与p的值

R2R2

接近时，容易接近1，说明中隐含着一些虚假成分。而当样本

R2

容量n较小，自变量个数p较大时，尽管很大，但参数估计效果

很不稳定。所以该题中不能仅仅因为很大而断定回归方程很理想

HH

3.5如何正确理解回归方程显著性检验拒绝，接受？

00

H

答：一般来说，当接受假设时，认为在给定的显著性水平α之

0

下，自变量,,…,对因变量y无显著性影响，则通过,,…,去推断y

就无多大意义。此时，一方面可能该问题本应该用非线性模型描述，

我们误用线性模型描述了，使得自变量对因变量无显著影响；另一

方面可能是在考虑自变量时，由于认识上的局限性把一些影响因变

量y的自变量漏掉了，这就从两个方面提醒我们去重新考虑建模问

题

当拒绝时，也不能过于相信该检验，认为该模型已经很完美。其实

当拒绝H时，我们只能认为该回归模型在一定程度上说明了自变

量,,…,与因变量y的线性关系。因为这时仍不能排除我们漏掉了一

些重要自变量。此检验只能用于辅助性的，事后验证性的目的。

（详细内容可参考课本P95～P96评注。）

3.6数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么？

答：原始数据由于自变量的单位往往不同，会给分析带来一定的困

难；又由于设计的数据量较大，可能会以为舍入误差而使得计算结

果并不理想。中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、

数量级不同带来的影响，避免不必要的误差。

ˆLˆ

jj,j1,2,,p

3.7验证jLj

yy

证明：多元线性回归方程模型的一般形式为：

其经验回归方程式为，

又，

故，

中心化后，则有，

左右同时除以，

令，

样本数据标准化的公式为

，

则上式可以记为

则有

3.8验证