现代控制理论东北大学李亚普诺夫稳定性分析.ppt

现代控制理论 第五章 李亚普诺夫稳定性分析 5.1 几个稳定性概念 5.2 李雅普诺夫稳定性理论   5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用 解得 于是有 解: 由 ，知 再令 于是得 将 代入上式，知 。 5.4.1 克拉索夫斯基方法 定理5.4.1 设系统的状态方程为 令 式中的 ，设 对 可微。 系统的雅克比矩阵为 证: 显然 。因为 那么 渐近稳定。如果随着 ， 范围渐近稳定。 ，有 ，那么 大 其中 为 的共轭转置矩阵，如果 当 时，有 。 所以 渐近稳定 在 时， 大范围渐近稳定。 所以 解: 由 平衡状态的稳定性。 例5.4.1 利用克拉索夫斯基定理确定下列系统在 5.1 几个稳定性概念 5.2 李雅普诺夫稳定性理论5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用 定义5.1.1 自治系统: 零输入作用的系统 其中，x为n维状态向量，f(.,.)为维向量函数。 定义5.1.2 受扰运动：系统状态的零输入响应. 定义5.1.3 平衡状态： 如果对于所有的总存在着 则称 为系统的平衡状态。 ，且A非奇异，则原点是系统唯一 如果 的平衡状态， 称为 向量的欧氏范数 定义5.1.4 欧氏范数： 定义5.1.5 稳定 系统(5.1.1)中， 对 ,若 使得 时 ,有 则称 为李雅普诺夫意义下稳定的。 定义5.1.6 渐近稳定： 如果 是李雅普诺夫意义稳定的， 和 并且对于 总 使得 则称 是渐近稳定的。 若 ，则称 为大范围(全局)渐近稳 定。 定义5.1.7 一致稳定（渐近稳定）： 若 的稳定性（渐近稳定）不依赖于 ，则称其 为一致稳定（渐近稳定）。 图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。 定义5.1.8 不稳定: 定义5.1.9 正定函数： 1） 存在 2） 3）当 对于某个实数 和 ，在超球域 内始终存在状态 ，使得从该状态开始的 受扰运动要突破超球域 时， 则称 是正定的（正半定的）。 如果条件3）中不等式的符号反向，则称 是负定的（负半定的）。 例5.1.1 1） 正定的 2） 半正定的 3） 负定的 4） 半负定的 5） 不定的 定义5.1.10 二次型： 塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式都是正的。如果 的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么 为半正定的。 如果 是正定的（半正定的），则 将是负定 的 (半负定的)。 例5.1.2 证明下列二次型函数是正定的。 解：二次型 可以写为 , 因为 所以 5.2.1 李雅普诺夫第一方法 设 ， 为孤立平衡点。 （1）平衡点平移：令 则 将 在原点展开得 ， 定理5.2.1 (2)近似线性化： 如果 , 则 渐近稳定， 如果存在 ，则 不稳定； 来决定。 如 ，则 的稳定性由高阶导 数项 例5.2.1 已知非线性系统 其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。 知系统有平衡点 解: 求平衡状态：由 下面仅对 情况进行研究，其它情况类似 计算 由特征方程 ，得 设 则 ①当 时，系统在 渐近稳定； 时， ② 系统在 不稳定; ③如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。 5.2.2 直接法 定理5.2.2 假设系统的状态方程为 如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件： 1） 是正定的； 2） 是负定的。 那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。 如果随着 有 则在原点处的平衡 状态 是大范围渐近稳定的。 定理5.2.3 如果 并且对于任意 和 不恒等于零则系统在 原点渐近稳定. 定理5.2.