李亚普诺夫稳定性分析讲解.ppt

9.4 李雅普诺夫稳定性分析 概 述 稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 稳定性的定义 系统的稳定性，表示系统在受到外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身恢复到原来平衡状态的一种能力。 分析一个控制系统的稳定性，一直是控制理论中所关注的最重要问题。 在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，常应用稳定性判据，如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据、根轨迹判据和奈奎斯特判据等，这些判据都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法都是以分析系统特征方程的根的分布为基础的，只适用于线性定常系统，不能推广到时变系统和非线性系统。 现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因素, 在解决这类复杂系统的稳定性问题时，最通常的方法是基于李雅普诺夫稳定性理论，即李雅普诺夫稳定性定理。 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献，建立了关于运动稳定性研究的一般理论。百余年来，李雅普诺夫理论得到极大发展，在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。 1、平衡状态 设我们所研究的系统的状态方程为 其中x为n维状态变量；f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的线性或非非线性向量函数。 由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡状态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如图所示。 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(?)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域S(?) ，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 二、李雅普诺夫第一法（间接判别法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 定理1：线性定常系统的特征值判据 对于线性定常系统 1)系统的每一个平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。 2)渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有负实部，即  实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及t 有关，是一个标量函数，记以 ；若不显含t ，则记 。 考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。 实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 1、标量函数定号性 正定性：标量函数 在域S中对所有非零状态 有 且 ，则称 均在域S内正定。如 是正定的。 正（负）半定性： ，且 在域S内某些状态处有 ，而其它状态处均有 （ ），则称 在域S内正（负）半定。 设 正半定，则 为负半定。如 为正半定， 负半定。 不定性: 在域S内可正可负，则称 不定。如 是不定的。 2. 李雅普诺夫第二法的主要定理 下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: 渐近稳定性定理 稳定性定理 不稳定性定理 定理1 设定常系统的状态方程为 其中xe=0为其平衡状态。 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明： 此定理只为判别系统渐近稳定的充分条件，而非必要条件。 也就是说，若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数，则系统是大范围渐近稳定的。 但是，若暂时找不到这样的李雅普诺夫函数，也并不意味着平衡状态就不是渐近稳定的。此时，我们或者继续寻找满足条件的李雅普诺夫函数，或者可利用后续定理的结论来判别平衡状态的渐近稳定性。 2) 对于渐近稳定的平衡状态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一。 例题：试确定用如下状态方程描述的系统的平衡状态稳定性。 例题： 试确定如下状态方程描述的系统的平衡状态