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机械工程学院机自所动态室 机械工程学院机自所动态室 现代信号处理技术及应用Modern Signal Processing Technology and Its Application 何正嘉 訾艳阳 张西宁 第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 5.1 短时傅里叶变换 时间分辨率 和频率分辨率 不可能同时任意小，根据Heisenberg不确定性原理，有以下限制 (5.1.6) 上式中，当且仅当采用了高斯窗函数，等式成立。 时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。 短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。 反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。 1.1 内积变换原理 函数 ， 的内积定义 信号 的傅里叶变换 信号的小波变换 1 信号处理的内积与基函数 小波变换的逼近信号 和细节信号 为 为尺度函数； 为小波函数。双尺度关系: 和 分别是低通和高通滤波器系数。 1.2 小波变换的内积运算 小波变换的分解表达式 基函数分解关系 小波变换的重构表达式 5.2 小波变换 5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取 Mallat塔形算法,不涉及尺度函数 和小波函数 ,直接运用 和 参与运算，运算量正比于 。 每次分解所得到的逼近信号和细节信号的数据长度是上一次逼近信号数据长度的一半。当 次分解后，逼近信号和细节信号的数据长度缩减为原始信号数据长度 的 。 在重构计算的每一步中，先在数据之间插补零后再参与同低通、带通滤波器系数的运算，结果重构数据长度加倍。 Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶算法在傅里叶变换中的地位。 正交小波变换将原始信号分解到各自独立的频带中，正交性保证了这些状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了监测诊断信息。 第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 * * 西 安 交 通 大 学 西安交通大学研究生创新教育系列教材 第五章 非平稳信号处理方法 经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。 本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。 第五章 非平稳信号处理方法 5.1 短时傅里叶变换 5.2 小波变换 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 5.4 工程应用 5.1 短时傅里叶变换 傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数 ，通过内积运算去变换信号 ，得到其频谱 。 (5.1.1) 这一变换建立了一个从时域到频域的谱分析通道。 频谱X(f) 显示了用正弦基函数分解出x(t) 中任一正弦频率f 的总强度。 傅里叶谱分析提供了平均的频谱系数，只与频率f 有关，而与时间t无关。 傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的. 1946年Gabor提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。 5.1 短时傅里叶变换 由加窗信号 的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。 (5.1.2) 是中心位于 ，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 所观察到的信号 的部分是 。 是 STFT的基函数。 t x(t) h(t) h(t-τ) x(t)h(t) τ 0 1 5.1 短时傅里叶变换 窗函数 的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 (5.1.3) 高斯窗函数的形状是： 1 ，1/4 ，1/16 5.1 短时傅里叶变换 给定窗函数 和它的傅里叶变