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10.4 平稳信号的各态遍历性 这种平均称为“集总平均（Ensemble Average)”，需要无穷多样本。 定义： 如果 的集总均值和其单一样本的时间均值依概率1相等，则称 的均值具有各态遍历性。 如果 的集总自相关和其单一样本的时间自相关依概率1相等，则称 的自相关函数具有各态遍历性。 如果 的均值和其自相关均具有各态遍理性，则称 为 各态遍历随机过程。 * * 对样本求和 Khintchine证明了：在具备一定的条件下，观察时间足够长的平稳过程的一个样本函数 的“时间平均（Time Average)”等于其集总平均,于是，可以用其任一个样本来得到其数字特征。此性质称为“各态遍历性（Ergodic)”。 对时间求和 时间均值 集总均值 例1 随机相位正弦波 单一样本 很容易证明： 所以是各态遍历的 由于随机幅度正弦波不是平稳的，所以它更不是各态遍历的。 例2 信号 的取值在 （－1～1）之间均匀分 布，但每一个样本的值不随时间变化。显然， 该信号是平稳的，但不是各态遍历的。 结论：平稳信号不一定是各态遍历的 注意此处求相关的方法和第1章的区别！ 例3 观察信号 信号 噪声 可由 来判断 的有无及性质 将 个样本在对应时刻相加，集总平均： 例4 记录信号 确定信号 噪声信号 允许多次试验 不随样本变化 则： 令 的功率为 ， 的功率为 ， 信噪比提高了 倍 相干平均：一种常用的弱信号检测方法 思考：什么条件下，信噪比可提高到 倍 10.5 信号处理中的最小平方估计 一、对确定性信号 例1 实值二次型函数的最小值 对称阵 注意矩阵向量的求导 最小二乘解 设有 个信号： 现希望用这 个信号估计信号 。 问题的提法： 例2 令： 寻找向量 估计方法：采用线性最小平方估计： 使 N是信号的长度 记： 由： 式中： 令： 最佳的 a 最小误差 的伪逆 最佳解的伪逆表示 对随机信号，“估计”是基本方法。有时要求估计信号本身，更多的是估计信号的参数，如： 二、对随机信号 例3 估计方法：采用线性估计 估计的均方误差： 式中： 令 得： Wiener-Hopf 方程 注意：由 显然，若使 为最小，应使上式的第二项为零。这是因为第一项不可能为零，即 为零 趋于最小 由 引导出参数估计中的正交原理，即： 欲使估计误差的均方值为最小，应使已 知的数据向量 和误差 正交。 于是，下式第一项即是最小估计误差，即 三、随机信号的线性最小均方滤波 假定三者都是零均值的平稳信号，现希望从 中估计出 。 问题的提法： 记录 信号 噪声 给定 问题的解决方案： 寻找一个滤波器 ，使 通过该滤波 器后，其输出和希望的信号 最“接近”。 如果： 1. ，此即滤波问题； 2. 表示一段时间。 此为纯预测（pure prediction）问题； 3. 表示一段时间。 此为预测（prediction）问题； 如果 称为一步预测问题 误差函数： * * * *