线性空间节.ppt

主要内容 引入 第八节 线性空间的同构 定义 同构映射的性质 同构的充分必要条件 举例 一、引入 设 ?1 , ?2 , … , ?n 是线性空间 V 的一组基，在 这组基下， V 中每个向量都有确定的坐标，而向 量的坐标可以看成 P n 的元素. 因此，向量与它的 坐标之间的对应实质上就是 V 到 P n 的一个映射. 显然，这个映射是单射与满射，换句话说，坐标 给出了线性空间 V 与 P n 的一个双射. 这个对应的 重要性表现在它与运算的关系上. 设 ? = a1?1 + a2?2 + … + an?n , ? = b1?1 + b2?2 + … + bn?n . 即向量 ? , ? 的坐标分别是( a1, a2, ... , an ) , ( b1, b2, … , bn ), 那么 ? + ? = (a1+ b1)?1 + (a2+ b2)?2 + … + (an+ bn) ?n , k? = ka1?1 + ka2?2 + … + kan?n . 于是, 向量 ? + ? , k? 的坐标分别是 ( a1+ b1 , a2+ b2 , … , an+ bn ) = ( a1, a2, ... , an ) + ( b1, b2, … , bn ), ( ka1, ka2, ... , kan ) = k( a1, a2, ... , an ) . 以上的式子说明: 在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间 V 的讨论也就可以归结为 P n 的讨论. 为了确切地说明这一点，先引入下列定义. 二、定义 定义 19 数域 P 上两个线性空间 V 与 V ? 称 为同构的，如果由 V 到 V ? 有一个双射 ? , 具有以 下性质： 1) ? (? + ? ) = ? (? ) + ? (? ) ； 2) ? (k? ) = k? (? ) , 其中 ? , ? 是 V 中任意向量，k 是 P 中任意数. 这 样的映射 ? 称为同构映射. 前面的讨论说明在 n 维线性空间 V 中取定一组 基后，向量与它的坐标之间的对应就是 V 到 P n 的 一个同构映射. 因而， 数域 P 上任一个 n 维线性空间都与 P n 同构. 三、同构映射的性质 由定义可以看出, 同构映射具有下列基本性质: 1. ? ( 0 ) = 0 , ? ( - ? ) = - ? (? ) . 的 2) 中分别取 k = 0 , -1 即得. 2. ? (k1?1+ k2?2 + … + kr?r ) = k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) . 这是 在 中的 1) 与 2) 结合的结果. 3. V 中向量组 ?1, ?2 , … , ?r 线性相关的充分 必要条件是，它们的像 ? (?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数, 所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间 有相同的维数. 4. 如果 V1 是 V 的一个线性子空间，那么，V1 在 ? 下的像集合 ? (V1) = { ? ( ? ) | ? ? V1 } 是 ? (V) 的子空间，并且V1 与 ? (V1) 维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘 积还是同构映射. 因为任一线性空间 V 到自身的恒等映射显然 是一同构映射，所以性质 5 表明，同构作为线性 空间之间的一种关系，具有 反身性、对称性与传递性. 既然数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与 Pn 同构，由同构的对称性与传递性即得: 数域 P 上任意两个 n 维线性空间都同构. 综上所述，我们有： 四、同构的充分必要条件 定理 13 数域 P 上两个有限维线性空间同构 的充分必要条件是它们有相同的维数. 在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑 线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是 怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算 下的代数性质. 从这个观点看来，同构的线性空 间是可以不加区别的. 因之，定理 12 说明了，维 数是有限维线性空间的唯一本质特征. 特别地，每一数域 P 上 n 维线性空间都与 n 元 数组所成的空间 Pn 同构，而同构的空间有相同的 性质. 由此可知，我们以前所得到的关于 n 元数组 的一些结论，在一般的线性空间中也是成立的，而 不必要一一重新证明.