线性空间和线性映射.ppt

Euclid空间（欧氏空间）线性空间内积的定义：设V是实数域R上的n维线性空间，对于V中的任意两个向量α、β,按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与α与β的内积，记为(α,β)，并且要求内积满足下列运算条件：我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间(欧氏空间)。当且仅当α=0时内积为零第62页，共100页，星期日，2025年，2月5日例1在Rn中，对于规定容易验证(,)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。如果规定容易验证(,)2也是Rn上的一个内积，这样Rn又成为另外一个欧氏空间。第63页，共100页，星期日，2025年，2月5日例2在mn维线性空间Rm×n中，规定容易验证这是Rm×n上的一个内积，这样Rm×n对于这个内积成为一个欧氏空间。例3在连续函数构成的线性空间C[a,b]中，规定容易验证(f,g)是C[a,b]上的一个内积，这样C[a,b]对于这个内积成为一个欧氏空间。第64页，共100页，星期日，2025年，2月5日Euclid空间的性质第65页，共100页，星期日，2025年，2月5日有限维线性欧氏空间设实数域上有限维线性空间V的基底为，设向量x与y在此基底下的表达式如下则x与y的内积可以表示如下第66页，共100页，星期日，2025年，2月5日取即A为实对称矩阵，而且(x,x)0表明A为正定的。第67页，共100页，星期日，2025年，2月5日性质：（1）当且仅当时（2）（3）（4）欧氏空间的度量定义：设V为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为第68页，共100页，星期日，2025年，2月5日例1：在线性空间Rm×n中，证明证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由三角不等式得证。例2设C[a,b]表示闭区间[a,b]上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的f(x),g(x)∈C[a,b]，我们有证明：由于为线性空间C[a,b]上的内积，由内积基本性质可得上式。第69页，共100页，星期日，2025年，2月5日定义：设V为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为于是有定理：定义：在欧氏空间V中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。第70页，共100页，星期日，2025年，2月5日线性变换的例子例1：R2空间上的如下变换为线性变换（该变换还是正交变换）。例2：设Pn为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为Pn到Pn的线性变换。例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：为V上的线性变换。第30页，共100页，星期日，2025年，2月5日线性变换的值域和核V上的线性变换T的值域和核定义如下：R(T)={Tx|x∈V}N(T)={x|Tx=0,x∈V}定理：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间，分别称为T的象空间和核空间。定义：线性变换T的象空间维数dimR(T)称为T的秩，核空间维数dim(N(T)称为T的亏。可以证明，若V维数为n，T的秩为r，则T的亏为n-r。例：实数域R上的不超过n次多项式的全体Pn中为线性空间，求导运算的象空间为Pn-1，核空间为R。第31页，共100页，星期日，2025年，2月5日线性变换的运算零变换T0：T0x=0变换的加法：定义(T1+T2)x=T1x+T2x负变换：定义(-T)x=-(Tx)数乘：定义(kT)x=k(Tx)定理：V上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。单位变换Te：Tex=x变换的乘法：定义(T1T2)x=T1(T2x)逆变换：若T为一一对应，则可定义逆变换T-1。定理：V上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。第32页，共10