第1章_线性空间与线性变换.ppt

注意：数域、两种运算如何定义的影响 假如 那么它们的和 定理1.3.4 设 T 是 n 维线性空间V 的 线性变换，V1，V2 是两个不变子空 间，并且 ，则线性变换T 在某个基下的矩阵为准对角形 1.3.4 不变子空间 定义1.3.4 设 是线性空间 上的线性变换， 是 子空间，如果 ，称 是 的不变子空间。 所谓不变子空间，是指对 中任意一个向量 ，经过线性变换的象仍然属于 ，即 。显然线性空间 和零空间是 的不变子空间，称为平凡子空间。 例：线性变换的值域与核均为不变子空间 定义1.3.3 设 T 是线性空间 到 的一个线性映射，T 的全体象组成的集合称为 的值域，用 表示,也称为 的像空间，记为 于是 （1.3.10） 所有被 变成零向量构成的集合称为 的核，记为 或 ，有时也称 为 的零空间，记为 即 (1.3.11) 例1.3.9 设 ,试证W 是 T 的不变子空间的充分必要条件是 定理1.2.4 (维数公式)设 和 是 的两个线性子空间，则 推论1 如果 n 维线性空间的两个子空间 和 的和空间维数小于 和 维数之和，那么它们的交空间一定含有非零向量，即 例1.2.4 定义1.2.2 如果 中任一向量只能唯一的表示成子空间 的一个向量和子空间 中的一个向量的和，则称 是 的直和，记为 （或 ）. 定理1.2.5 两个子空间的和是直和的充分必要条件是： 推论⒉ 设 是的 两个子空间，则 的充分必要条件是： 推论2也可以作为定义1.2.2的等价定义。 推论3 如果 是 的 基； 是 的基, 是直和,那么 是 的基. 1.3 线性变换及其矩阵表示 1.3.1 线性变换 定义 从线性空间到线性空间的映射叫做变换. 例1.3.1 定义1.3.1 设 和 是两个线性空间，假如一个从 到 的变换 具有以下性质: （1） （2） 称作V 的一个线性变换或线性算子。特别 当 时，称 是 上的线性变换. 注:定义中两个条件可以用一个表达式来表示，即T 是线性变换的充要条件是： 例：两个特殊线性变换 (1) 如果对任意 ，恒有 ，则称 是零变换，记为 ，即对任意 恒有 。 (2) 如果对任意 ，恒有 ，则称 是恒等变换，记为 ，即 图1.3.2 例1.3.2 例1.3.3 关于线性变换有以下简单性质： (1) ， ，其中 . (2) 若 , 则 (1.3.2) (3) 若 线性相关，则 也线性相关. 注意（3）的逆命题不成立。 1.3.2 线性变换的运算 ⒈ 线性变换的相等 设 是两个线性变换，若对 中任意向量 都有 则称 与 相等，记作 .设 是 的一个基，则 的充分必要条件是 ⒉ 线性变换的和 设 是 中的两个线性变换，对任意一个元素 与 相对应的变换称为 与 的和，记作 。即 ⒊ 线性变换的数乘 设 ， ，则与 对应的变换称为 与线性变换 的数乘，记为 ，即 ⒋ 线性变换的乘积 设 为 中的两个线性变换， ，与 对应的变