布朗运动维纳过程-西安电子科技大学.PDF

第三章 布朗运动（维纳过程） 1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 布朗运动内容 布朗运动定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 布朗运动定义 称实随机过程{W 2 t,t ≥0}是参数为σ 的布朗运动,如果 (1) W 0 0 (2) {W , t ≥0} 是平稳的独立增量过程． t 2 (3) ∀0 ≤s t,W −W ~ N (0,σ (t −s)) t s 2 σ 1时，称为标准布朗运动 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 数字特征 设 {W ,t ≥0}是标准布朗运动.则 t mW (t ) 0, DW (t) t, t ≥0, RW (s, t) CW (s,t ) min(s,t ),s,t ,=≥0 证明 由定义易知有 m (t) 0,D (t) t,t =≥0 W W 对s ≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 R (,s t) E[WW ] W s t E[(W =−W )(W −W +W )]s 0 t s s 独立性 E[(W =−W )(W −W )]+E[W ]s 0 t s s 2 0=+E[W ]2 s DW[ ]=+(E[W ])2 s s s min( , ) st C (,st) R (s,t)−m (s)m (t) min(,st) W W W W 随机过程—— 西安电子科技大学数学系冯海林 例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数 一维分布函数F(t ;x) P(W ≤x)1 t1 2 x - 1 x 2t ∫-∞ e 1dx 2πt 1 (其中注意到有W N(0,t ))