西安电子科技大学秋研究生随机过程试题.doc

西安电子科技大学 研究生课程考试试题 考试科目： 随机过程 课程编号： 0721001 考试日期： 2012 年 1 月 4 日 考试时间： 150 分 考试方式：(闭卷) 任课教师： 班号 学生姓名： 学 号： 一.（15分） 随机过程被称为一个标准布朗运动，如果它满足：(a) ；(b) 是平稳独立增量过程；(c) 对任意的，随机变量。 试计算或证明以下问题： (1) 对于任意，定义，其中是实数，。证明随机过程是一个正态过程。 (2) 对于任意，定义，计算随机过程的一维分布函数和其一维密度函数。 二.（12分）设为一个参数为1的泊松过程。证明：对任意的， 其中。 三. （13分）设是一个参数为σ2布朗运动。对任意的，定义 。 试回答下面的问题： (1) 求随机过程的均值函数和相关函数。 (2) 判断随机过程是否均方连续和均方可导。 解 （1）B是标准布朗运动, 于是。 （1分） 因 （1分） 故由均方积分过程的相关函数等于被积过程相关函数的二重积分得: 当 时 （1分） 当 时 （1分） 从而 ① （1分） （2） 由①知, 相关函数是二元连续函数, 从而过程X均方连续。注意到 ② ③（3分） 因偏导在处的连续性显见, 故在(t,t)处的一阶偏导存在且为。 进一步由②, ③不难得到 ④ ⑤ （3分） 从而在(t,t)处的二阶偏导也存在, 为, 显然是连续的。于是过程X 的相关函数广义二阶可导，从而过程本身均方可导。 （2分） 四. （12分）设随机过程是一个相关函数为(其中和)的平稳过程。对任意的，定义 。 （1）证明随机过程是平稳过程。（2）求出过程的谱密度。 证 （1） 因X 是平稳过程, 故与时间t无关， 对任何t成立。从而 与t无关。 （2分） （4分） 即只与t-s有关。因此，Y是平稳过程。 （2）因 （2分） 故Y 的谱密度 （4分） 五.（12分）设是一个具有有限方差的随机变量。对任意的，定义。问：当随机变量满足什么条件时，随机过程具有均值和相关函数的各态历经性。 解 由题设立得 （3分） 于是过程X是平稳过程。由定义有 X的时间平均： （2分） X的时间相关函数： （2分） 因 X的均值具有各态历经性, 即。 （2分） X的相关函数具有各态历经性, 即。（2分） 由上两个等价条件中的任一个知, 当且仅当几乎必然是常数时，过程X才具有均值各态历经性和相关函数的各态历经性。 （1分） 注：实过程X的均值各态历经性也可用如下判别条件 因 , 故X的均值具有各态历经性等价于，即几乎必然是常数。相关函数各态历经性的其它等价判别条件需要至少具有四阶矩，不在本题考虑范围之内。 六. （12 分）已知一齐次马尔可夫链的状态空间，且其一步转移概率矩阵为 试回答下面的问题： (1) 对状态空间状态分解。 (2) 求状态5的首达概率和以及计算。 七. （12 分） 设为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为，则一定有 ，其中为状态的平均返回时间。 证明下面的问题： (1) 状态为零常返当且仅当。 (2) 状态为遍历的当且仅当。 八. （12 分）设齐次马尔可夫链的状态空间，且其 一步转移概率矩阵为 （1）试对状态空间进行分解。 （2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布。 （3）设初始分布，其中，求概率 和概率。