节函数的几种特性.ppt

* * 第三节 函数的几种特性 一、函数的有界性 定义1 设函数 在区间 内有定义， 则称函数 在 内是有界的．如果这样的 不存在，则称函数 在 内是无界的． 如果存在一个正数 ，对于所有的 ， 对应的函数值 都满足不等式 换句话说，对于任意给定的一个正数 （不论它多么大），总有某个 ，使得 ，那么 在 内无界. 例1 函数 在 内是有界的． 因为对于任何 ， 恒有 ． 例2 函数 在 内无界． 事实上，对任意取定的一个正数 （不妨 设 ，由于 ，故当 时， ， 因此 在 内无界 ，即 是 内无界函数． 但是，如果取 是小于 的给定的正数时， 在区间 内是有界函数． 因为取 时,对于任意的 ,有 才能讨论函数在该区间内是有界的还是无界的． 由此可见，必须先指明 所在的区间后， 函数 在 上是无界的，在 上是有界的． 函数 在 上是无界的，在 上是有界的． 有界函数图象的特点是它完全落在两直线 和 之间． 如图1—22． 二、函数的单调性 定义2 设函数 ，在区间 内， ，当 时，有 则称此函数 在区间 内是单调增加的（ 如图1—23）； 随 的增大而增大，即对于 内任意两点 ， 如果函数 ，在区间 内， ，当 时，有 则称此函数 在区间 内是单调减少的（ 如图1—24）. 随 的增大而减少，即对于 内任意两点 ， 1--23 1--24 例3 判断函数 的单调性． 解：对于任意的 、 ，如果 ，那么 即 所以 在 内是单调增加的． 解：对于任意的 ， ，如果 ， 即 所以 在 内是单调增加的． 例4 证明函数 在 内是单调增加的. 有 三、函数的奇偶性 定义3 对于函数 ，其定义域 （1）如果对任意的 ，有 则称 为奇函数； （2）如果对任意的 ，有 则称 为偶函数． 关于坐标原点对称， 对于偶函数，即 如果点 也在图形上，可见偶函数的 在图形上，则与它对称于 轴的点 图形对称于 轴，如图1—25（1）所示． 图形对称于坐标原点，如图1—25（2）所示． 在图形上，则与它对称于原点的点 对于奇函数，即 如果点 也在图形上，可见偶函数的 图1--25 1—25（2） 1—25（1） o 解：因为 例5 判断 的奇偶性． 所以 为偶函数，如图 1—26所示 ． 图1—26 例6 判断 的奇偶性． 解：因为 函数 的定义域 所以对任意的 有 则函数 为奇函数． 即 试证：（1） 是偶函数； 例7 设 是定义在 内的任意函数， （2） 是奇函数． 证：1)令 ，则 为 对于任意的 ，必有 且 的偶函数． 2) 令 ，则 为 且 对于任意的 ，必有 所以 为在 内定义 的奇函数． 所以 为在 内定义 上定义的任意一个函数，一定可以表示为偶函数 本例结果表明，在对称区间（或 ） 与 奇函数 之和． 易证下面结论： 1）两个奇函数之积是偶函数； 2）奇函数与偶函数之积是奇函数．